Une idée:
Si u et v sont colinéaires, une simple homothétie suffit
Si u et v sont libres, complete (u,v) en une base, et utilise la matrice de l'endomorphisme qui envoie u sur v, v sur u, et laisse les autres fixes.
Evidemment, il faudra utiliser les matrices de passages de la base dans laquelle sont exprimés u et v à la nouvelle base.
Je te laisse rédiger.

Si u et v sont libres. Je complète (u,v) en B=(u,v,e2,...,en) base de E.
Soit f dans L(E) tel que f(u)=v, f(v)=u et f(ei)=ei pour i dans {2,...,n}.
Je pose f(u)=x1.u+x2.v+x3.e2+...+xn.en
et f(v)=y1.u+y2.v+y3.e2+...+yn.en
On pose P=mat(f),B (matrice de f dans la base B)
Alors det(P)=x1.y2-x2.y1 mais a t'on P(u)=v et det(P) différent de zéro?

En fait si tu veux éviter les deux cas :
a) tu prends une base contenant  u
b) une autre contenant v
alors la matrice de passage de l'une à l'autre convient.