Bonjour,
ça signifie tout simplement que g est injective et f surjective, c'est quasi trivial et vrai dans un contexte plus large.

Bonsoir,

1) Im(f) est E tout entier (autrement dit : f est surjective) :
Soit x dans E, montrons que x est atteint par f (a un antécédent) : puisque fog=Id(E), f[g(x)]=x : l'élément g(x) est donc un antécédent de x par f.

2) Ker(g)={0} (g est injective) :
Si x appartient à Ker(g) i.e. g(x)=0, alors fog(x)=f(0)=0, et comme par ailleurs fog(x)=x, on a bien x=0.

Bonjour,

Pour la 2., on peut raisonner par l'absurde : s'il existe x (non nul) E tel que g(x) = 0 alors f(0) = x or fog =Id donc x = 0

Bonjour,

Merci à tous pour avoir répondu aussi rapidement !
Et merci plus particulièrement à toi critou pour m'avoir expliqué très clairement !

Ceci dit, j'ai une dernière question à poser:s

En fait il s'agit du même exercice.
On demande de calculer Im(psi), et auparavant on a montré que :
- psi o fi(f) = f − f(0)  avec psi(f)(x) = intégrale de 0 à x de f(t)dt.
- psi est un endomorphisme d'un e-v E.

Et le corrigé dit que Im(psi)= {fonctions s'annulant en 0}.

Je suis sûr que c'est tout bête mais je ne comprends pas:s
Pouvez-vous me l'expliquer, et si possible de me montrer une méthode claire pour calculer Im d'une fonction parce que je galère à chaque fois...

Merci encore pour votre soutien ! (au fait, comment fait-on des intégrales, des psi et des fi dans ce forum ?)

Pour les symboles : tu as en-dessous du cadre où tu écris plusieurs boutons (gras, italigne, souligné, ...) ; parmi ceux-ci, il y a un "pi" (à côté du bouton "LTX") : tu cliques dessus et tu vas voir apparaître la liste des principaux symboles mathématiques. Pour les insérer dans ton texte, tu as juste à cliquer dessus.

L'énoncé que tu donnes est incomplet, tu n'as pas précisé ce que c'est que l'application ... ?

en fait j'ai omis exprès de préciser l'application parce que j'en voyais pas l'utilité...
enfin si tu penses que c'est nécessaire, est l'application qui à f associe f' (sa dérivée pour éviter toute confusion). Voilà, j'espère que j'ai été assez claire...

Déjà il y a un souci : si est un endomorphisme de E, est à valeurs dans E, donc son image est un sous-ensemble de E, et pas un ensemble de fonctions.
D'après moi la question est plutôt de déterminer Im(o) !
C'est peut-être ça qui te bloquait ?

désolé je n'ai peut-être pas précisé avant que E = C(,). Donc je pense que Im() est forcément un ensemble de fonctions, non ?

Ah bon d'accord, là ça va mieux. "un endomorphisme d'un e-v E" portait à confusion .

On veut donc montrer que
De manière générale, pour montrer une égalité entre deux ensembles, on procède souvent par double inclusion. Il faut donc que tu montres :
- d'une part que pour toute fonction f, s'annule en 0
- de l'autre, que toute fonction f s'annulant en 0 s'écrit
Ce n'est pas très difficile à montrer, je pense que tu vas y arriver.

Après, pour avoir l'idée de l'image, c'est un peu du "feeling" et je pense que ça vient avec l'habitude ; là comme ça, je ne vois pas de 'méthode' particulière pour ce genre de question.

Tu as raison, avec la méthode de la double inclusion on arrive facilement à vérifier l'égalité !
Après comme tu dis c'est autre chose de trouver l'image, mais bon je vais m'entraîner
En tout cas merci beaucoup pour ton aide précieuse !

De rien