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puissances d'endomorphisme
bonjour j'ai un problème avec cet exercice de mon DM :
soit f:
3
3 une application linéaire
on pose f1 = f et 
n 
+ , fn+1 = f°fn
on suppose que f3 est l'endomorphisme nul mais que f2 ne l'est pas
soit 
un élément de 3 tel que f2 (u) 
0
on pose 
1 = et , n , n+1 = fn()
1) montrer que 0 {1,2,3}
2)montrer que (1,2,3) est libre
3)déterminer le rang de f
4)montrer que la matrice A = {(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0)} représente f dans une certaine base de 3
mon problème c'est que malgré mes recherches dans mon cours et mes exercices je ne suis pas très sur de la démarche à adopter
voici ce que j'ai trouvé pour le moment :
2) (1,2,3) = (f(),f2(),f3())
est-ce suffisant pour dire que dans la base (f,f2,f3)la matrice de (1,2,3) = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) et que la famille est libre ?
3) que rg f = 2 (car f3 est nul)
4) et que la base chechée est (f3,f,f2)
suis-je sur la bonne voie ou est-ce que je fais fausse route ?
Bonjour
et
sont des applications, donc je ne vois pas comment elles pourraient former une base de
.
Tu dois démontrer que est une famille libre, donc une base de R^3.
merci pour ta réponse
mais comment je dois m'y prendre ?
si je fais :
A = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))
tel que : A * (u,f(u),f2(u))=(v1,v2,v3)
en remarquant que A est libre car de la forme I3
et u, f(u) et f2(u) sont 0
est-ce que c'est bon pour affirmer que la famille est libre ?
et comme c'est une famille libre avec le même nb d'éléments que dim 3 ,c'est donc une base
Ceci n'a aucun sens!
Tu supposes que
et tu montres que ceci entraine
(Une famille de vecteirs non nuls n'est pas forcément libre!)
et pour montrer ça est-ce que je peux dire que comme v1,v2 et v3 sont non-nuls, la seul combinaison qui convient est 
1=2=3=0
Comme je m'en vais...
entraine puisque
par hypothèse.
Reste Tu appliques f...
Mais à mon avis tu devrais bien revoir ton cours!
merci Camelia,
je vais suivre ton conseil (revoir mon cours) car même avec tes indications je patauge, par contre si à l'occasion tu avais un exemple du même type avec des valeurs numériques je pense que ça m'aiderais à comprendre.
bon voilà ce que j'ai compris
1) montrer que 0 {1,2,3}
ça veut dire qu'aucun des vecteurs n'est nul et comme on a f application linéaire de 3, on a f(0) = 0 et par définition f2(u) 0 , ce qui nous donne u 0, f(u) 0
2)j'ai compris on applique f2 des deux cotés car f2(0) = 0, ce qui donne 1=0
en appliquant f on trouve 2 = 0
et finalement comme f2(u) 0, 3 = 0
et on peut conclure
3)on sait que rg (f3) = 0 et que le rangs de f et f2 sont supérieurs à 0
je sais (du moins je ne vois pas comment il peut en être autrement) que rg f = 2 , rg f2 = 1
mais dans un cas général comme celui-ci je ne sais pas quel théorème utiliser pour le montrer
tout ce que je vois ce que ker (f3) = 0 , donc rg (f3) = 0
4)dim (im A) = 2 et comme dim (im(f(u)) = 2 , on a donc A représente f dans la base canonique de 3
L'image est engendrée par les images des vecteurs de base. On trouve ,
et
donc l'image est engendrée par la famille libre
et elle est donc de dimension 2.
Tu regardes ces relations pour écrire la matrice A (on met en colonne les coordonnées des images des vecteurs de la base)
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