certainement de Bezout ...

p u + q v = 1 ...

Salut

pZ+qZ est un sous groupe additif de R et p/q est rationnel donc pZ+qZ est fermé, de la forme .

Reste à montrer que

Par double inclusion ça marche non?

on a Z c pZ+qZ par bezout donc ca marche (lautre inclusion est immédiate)

Effectivement c'est immédiat avec Bezout

_{Comment se sont passés les concours Redman ? un futur polytechnicien comme le tier des magnoludoviciens?}

c'est pas vraiment fini , il reste les oraux !
pour les écrits, j'espere que ca va... ca ne dépend plus de moi en tout cas..
et toi la sup? profite de cette dernière periode

_{En maths elle s'est bien passée, le reste c'était pas ça !}

_{en tt cas bon courage pour la suite}

dans le cas général, on a :

J'ai montré que si divise alors

Comment démontre-t-on cela sans utiliser Bézout ?

Salut,

par propriété des groupes, si a l b alors

il existe k appartentant à ZZ tel que b=k.a

donc b appartient à aZZ

par stabilité de la loi + dans le groupe aZZ

on a bZZ inclus dans aZZ

la réciproque est vraie aussi...

Mince, je me suis mal exprimé.

Je veux montrer que en utilisant le fait que si a/b alors

Merci

alors

**

ah ok, bé on peut montrer facilement que pZ + qZ est un sous groupe de Z

donc il existe n tel que pZ + qZ= nZ

je note p^q le pgcd

p^q l p donc pZ inclus dans p^qZ
p^q l q donc qZ inclus dans p^qZ

toujours par propriété des groupes

pZ+qZ inclus dans p^qZ

donc nZ inclus dans p^qZ

de plus pZ inclus dans nZ et qZ inclu dans nZ

n l p et n l q

donc n l p^q

donc p^qZ inclus dans nZ

double inclusion, c'est fini

merci

J'avais réussi à montrer que

Tu vois, à partir de là, comment faire l'inclusion inverse ?

il faut savoir que les sous groupes de Z sont exclusivement de la forme nZ, n appartenant à Z

comme pZ + qZ est un sous groupe, tu viens de montrer que nZ inclus dans p^qZ

or pZ inclus pZ +qZ = nZ

de même pour q

donc n l p et n l q donc n lp^q soit p^qZ  inclus dans nZ=pZ +qZ