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Q-liberté
Bonjour à tous !
J'aimererais savoir si { 
n | n entier > 0 non carré d'un autre entier} est libre dans 
considéré comme un 
-espace vectoriel
Et bien évidemment comment le prouver si c'est le cas (ou prouver le contraire sinon).
Bonsoir,
Prends un n et un (p²n) tels que n et p²n ne soient pas des carrés.
Alors pn - (p²n) = 0
Donc la réponse est non.
En fait, si n n'est pas un carré, p²n n'est pas un carré donc j'aurais dû écrire :
Prends un n qui ne soit pas un carré, alors, etc...
Bonjour,
Ce n'est pas si simple. La méthode classique c'est de la théorie de Galois , on peut aussi faire des formes quadratiques.
Je ne connais pas de preuve niveau 2 ième année de fac.
On peut prouver la chose de manière élémentaire.
Par exemple prouve que Q(racine (a), racine(b), racine(c),...) est de degré 2^n ssi le produit de n'importe quel sous ensemble de racine n'est pas dans Q (ce qui est le cas par reccurence), ce qui se fait bien par reccurence en prouvant que K(racine(a), racine(b)) est de degré 4 sur K si racine(a), racine(b) et racine (ab) ne sont pas dans K.
Sinon, comme ca ete dit on peut le trouver en utilisant la theorie de Galois, il suffit de prouver que les extensions sont linéairement disjointes 2 a 2 ce qui est evident, pour que le groupe de galois de l'extension composée, soit le produit des groupes de Galois, et donc de cardinal 2^n.
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