desolee pour 2/ q est definie positive si et seulement si r=n

Bonjour

C'est immédiat. Si q est de signature (r,s) on sait qu'il y a une base par rapport à laquelle

et il suffit de regarder...

Bonjour (ça ne fait pas de mal et ce n'est pas la première fois!)

Les résultats que tu avances sont faux, ou alors il faut supposer que r+s=n(=dim(E)).

Sans cela, il faut remplacer positive (resp. négative) par définie positive (resp. définie négative).

Je supposerai donc que r+s=n.


1)Si s=0, il existe une base (e1,...en) de E dans laquelle q admet pour matrice la matrice diagonale diag(a1,...an) avec tous les ai strictement positifs par hypothèse.

On en déduit que pour tout

qui est positif, et nul si et seulement si tous les xi sont nuls.

Ainsi la forme est définie positive.



Réciproquement, supposons s non nul.

Alors il existe une base dans laquelle la matrice de q comporte un coefficient négatif, autrement un vecteur f tel que q(f) < 0: par suite q n'est pas positive.

On peut même prouver que si q n'est ni positive ni négative, alors elle n'est pas définie:


*Supposons donc 0 0.

L'application :

w:[0;1] -> R

t -> q(te +(1-t)f)

est la composée de deux fonctions continues (une forme quadratique est un polynôme homogène de degré 2), donc w est continue.

De plus, w(0)=q(f)>0 et w(1)=q(e)<0, donc w s'annule au moins une fois d'après le théorème des valeurs intermédiaires.



2)C'est immédiat en appliquant le résultat du 1) à la forme -q.

Bonjour Camélia!

Bonjour Greg.

Non, c'est pas faux! q est positive si et seulement si s=0 (définie si de plus r=n)

Et il n'y a pas de raison de supposer que r+s=n. Par exemple est de signature (1,1).

Oui oui, c'est bien ce que j'ai dit!

...Sauf qu'évidemment j'ai écrit le contraire de ce que je pensais (serais-je dyslexique?) :


"Sans cela il faut remplacer "définie positive" par "positive" dans ton énoncé", aurais-je dû dire en effet!

Salut Camelia
comment je dois rediger pour 2/?

Si r=n, on a forcément s=0, donc ce qui est évidemment positif et ne s'annule que pour x=0.

Salut Tigweg
Ce sont les enonce que j'ai. Je ne vois pas aussi de raison de supposer r+s =n

Ceci donne le 2eme sens de 2/

Non mais si r+s est différent de n, il n'est pas possible que la forme soit définie positive ou négative, puisque la diagonale de la matrice de q dans toute base orthogonale contiendra au moins un 0 !

Les énoncés sont bien faux, il faut en retirer le mot "définie"!

Oups oubliez tout ce que j'ai dit, j'avais mal compris la correction que tu apportais dans ton deuxième post, je suis désolé!

Il n'ya  pas de pb.

Je vois q'on a mq 2/ et 3/ pour pour chacun juste le deuxiemme sens. Qu'en est il pour le premier sens?

Est ce vous pensez que c'est juste

Pour montrer que (q définie positive) => (r=n),

il suffit de raisonner par contraposition:

si r était strictement inférieur à n, on aurait s=0, et ce que j'ai fait dans mon premier post s'applique, de même que la réponse de Camélia.Nous l'avons déjà démontré.

Ok mon ami c'est compris. Je suis bloque dans un autre exercice (juste la 1ere question)
Le titre dans le forum est orthogonalite et dimension. Est ce que tu peux intervenir aussi. Je vous remercie.

Ok c'est bien resolu aussi. Ne te derange pas.
Merci une autre fois. Vous etes tres serviable.

Avec plaisir