Bonjour,

Soit q un quaternion :

Alors :


Sens <=
Si q est réel alors b=c=d=0 et donc qui est réel.

Si q est pur, a=0 et donc qui est réel.

Sens =>
Supposons maintenant que soit réel.
On a donc :


On a donc soit a=0, soit b=c=d=0, ie q est soit réel, soit pur.

Bonjour,

Merci pour ta réponse.
Et voici la suite:
Soit f un autimorphisme de l'algèbre H, c'est-à-dire une bijection R-linéaire de H dans lui-même qui respecte la multiplication.
Démonter que f induit l'identité sur la droite réelle et laisse stable l'espace des quaternions purs.
En autre, pour moi, cela se traduit partiellement par:
Soit f: R -> H
        P |-> P
        R |-> Id.

Sont f un automorphisme de H

On a donc f(x+y)=f(x)+f(y) et f(x*y)=f(x)*f(y) et f bijective.


Il faut montrer que f restreinte à R est l'identité. C'est un résultat du cours : Le seul automorphisme de R est l'identité. On peut le redémontrer cependant, ce n'est si simple, il faut montrer que f est identique sur Q puis montrer qu'elle est croissante.

Pour la stabilité :

Soit q pur, on veut montrer que f(q) est pur, utilise le fait que f(q²)=f²(q)

Bonjour,

Merci pour cette aide précieuse car mon cours sur les quaternions n'est pas très conséquent.
Et pour la stabilité, j'écris donc que si q est pur alors on a
f(q²)=f²(q)= f[f(q)) = ...?

Non je désignais f²(q) par f(q)*f(q) !

Utilise le fait que q² est réel.

Bonsoir,

Ainsi,
on pose q pur
puis on a f(q²)=f²(q)=f(q)*f(q) de telle sorte qu'on part de q^2 réel=> q pur d'après ce qu'on a vu avant et donc f(q) est pur.