Salut

Soit

On a alors

Supposons
Alors :

ie :


D'où

Même chose pour la réciproque, a toi de jouer.

Bonsoir,

Merci.
Juste pour la réciproque,est-ce-que c'est bien:
Si q=a+bi+cj+dk est un quaternion pur alors sa partie réelle a=0.
Donc, on a q=ci+dj+dk tel que son conjugué vaut -bi-cj-dk et ainsi le conjugué de q = -q.

C'est bon

Bonsoir,

Merci.
En autre , voici la suite de l'exo.
Sachant que u et v sont des quaternions purs, démontrer l'équivalence des propriétés suivantes:
1) u et v sont orthogonaux,
2) uv est un quaternion pur, et
3) uv+ vu = 0.
Or pour moi, en posant u=bi+cj+dk et v=b'i+c'j+d'k,
1)=> le produit scalaire entre les vecteurs u et v égal zéro,c'est-à-dire que
bc'- cb' = 0,
2)=>le conjugué de (uv) = - uv ou = -u * -v car le conjugué de (uv) = conjugué de u * celui de v,et
3)=>uv = -vu.
Donc, cela ne suffit pas pour faire la démonstration demandée.
Merci de m'aider.

Bonjour,

Allez, même si je ne m'en sort pas, je crois avoir fait quelques avancés.
En effet, avec les mêmes conditions que précedemment,
1)=> bc' = cb'
2)=> le conjugué de (uv) = conjugué de v * celui de u Eh!Oui! J'avais fait 1 erreur
et peut-être => -v * -u = v*u
tel que je ne sais non plus si les termes a,b,c et a',b',c' sont commutatifs entre eux vu que H ne l'est pas
3)=>tjs uv = -vu
Merci de m'aider.

Bonjour,

En effet, votre aide devient de plus en plus urgente car je dois finir cet exercice pour mon partiel de vendredi, tout en sachant que je n'ai pas encore mis l'intégralité des questions sur le forum.
Merci  de votre compréhension.

Virginie.

Bonjour

(b,c,d).(b',c',d')=bb'+cc'+dd'.

Or il se trouve que ceci est exactement l'opposé de la partie réelle de (bi+cj+dk)(b'i+c'j+d'k) ce qui règle l'équivalence de 1) et 2).
Pour montrer que c'est équivalent à 3) il faut faire le calcul uv-vu.

Bonjour,

Merci pour l'aide pour trouver l'équivalence de 1) et 2).Or, je ne risquai pas de la trouver car notamment je faisais un produit vectoriel entre (b,c,d) et (b',c',d')
Par contre, pour montrer que cela est équivalent à 3),je ne vois pas à quoi sert de calculer uv - vu tel qu'il vaut 0.
  

Bonsoir,

Désolée, mais l'expression uv - vu n'est pas égale à 0  mais a sa partie réelle   est nulle.
Est-ce donc la bonne équivalence ?

Bonsoir,

Maintenant cela se corse, c'est pourquoi, j'ai d'autant plus besoin de votre aide.D'où,
Le choix de la base (i,j,k) identifie l'espace vectoriel des quaternions purs à R^3.
Pour tout quaternion s de norme 1, on note f(s) la transformation orthogonale de l'espace des quaternions purs définie par f(s)(q) = s*q*conjugué de s.
Soit u un quaternion pur de norme 1.
Démontrer que f(u) est le retournement (ou demi-tour) dont l'axe est le support de u.