Salut,

salut et merci pour ta réponse.

j'ai une autre question faisant suite à la première.

dans un livre il est marqué:
soit E un ensemble.les propositions suivantes sont équivalentes:
-E est infini (1)
-il existe une injection de l'ensemble des entiers naturels dans E,ie une suite d'éléments de E distincts deux à deux.(2)

la démonstration est


construisons une suite d'éléments de E distincts deux à deux
-puisque E n'est pas fini , il est non vide.on peut donc trouver un élément X0 appartenant à E.
-supposons construits X0,X1...et Xn-1 des éléments de E distincts deux à deux.
alors puisque E n'est pas fini ,l'inclusion {X0,....,Xn-1) dans E est stricte ce qui permet de trouver un élément Xn appartenant à E distinct des précédents.


je ne suis pas sur de comprendre pourquoi l'élément Xn appartenant à E mais pas à {X0,...,Xn-1) (définition de la stricte inclusion il me semble) est forcément distinct des éléments allant de X0 à Xn-1.??


par exemple dans le cas d'un ensemble infini défini par E={1,2,3,4.....,4)(par compréhension il y a une infinité de 4)
si {X0,...,Xn-1)=(1,...,4) alors Xn=4 et n'est pas distinct de l'élément Xn-1.

une hypothèse serait que l'ensemble E={1,2,3,4,...,4}={1,2,3,4}  est donc un ensemble fini.
un ensemble infini pourrait  donc être ramener à une infinité d'éléments distincts deux à deux?

merci pour ta réponse.je pense avoir compris.


Attention, ce n'est pas parce que tu dis une infinité de fois que 4 est dans E, qu'il y aura une infinité de 4 dans E, et je pense que c'est là où tu mélanges les pinceaux.

je n'ai pas saisi la différence entre ces 2 cas en revanche.

Si tu dis une infinité de fois que le même élément précis 4 est dans E, ça veut seulement dire qu'il y a 4 dans E. C'est pour ça que {1,2,3,4,...,4}={1,2,3,4}.