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Quelques exos sur les complexes...

Posté par
Rowantree 06-09-09 à 14:52

Bonjour à tous!

Je bloque sur plusieurs exos sur les nombres complexes (je suis en MPSI).Pouvez-vous m'aider svp?

1° Soit z .Montrer que si |z-(1+i)| alors 10 -1|z-4|10 +1

J'ai pensé à utliser l'inégalité triangulaire, mais je ne vois pas où ça mène...

2° Soient x et y deux nombres complexes.Montrer que:
|x+iy|²=x²+y² (x+iy=0) ou (x,y)².

Là, j'ai essayé de partir de la deuxième partie de l'équivalence mais à mon avis je ne démontre rien du tout...

Merci beaucoup de me donner un petit coup de main

Posté par
Rowantreere : Quelques exos sur les complexes... 06-09-09 à 15:45

Personne n'aurait une petite idée?

Posté par
veledare : Quelques exos sur les complexes... 06-09-09 à 17:28

bonjour,
2)
|x+iy|^2=(x+iy)(\bar{x+iy})=(x+iy)(\bar{x}-i\bar{y})
x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)
pour le 1) il manque une partie de l'inégalité donnée

Posté par
Rowantreere : Quelques exos sur les complexes... 06-09-09 à 17:55

En effet! L'inégalité est donc |z-(1+i)| 1 pour le 1), désolée pour cet oubli!

Pour l'exo 2 si j'ai bien compris on a:

(x+iy)(xbarre-iybarre)=(x+iy)(x-iy)
Et pour x et y appartenant à C on a donc x+iy=0 qui vérifie l'égalité; sinon cela implique que x et y sont réels.

Posté par
veledare : Quelques exos sur les complexes... 06-09-09 à 19:29

ton "sinon" est à expliquer
en mettant tout dans le membre de gauche on a
(x+iy)(\bar{x}-x-i(\bar{y}-y)=0
donc
x+iy=0               (1)
ou
\{x}-x-i(\bar{y}-y)=0 (2)

si x=a+ib y=a'+ib' (2)=>-2ib-i(-2ib')=0
soit-2b'-2ib=0 b et b' étant réels ils sont donc nuls
on a donc x=a,y=a'a et a' étant réels donc x et y sont réels


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