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Question courte dimension et variable libre.
Bonjour, je viens de faire un exercice et la dimension était déduite du nombre de variables libres de la matrice représentant le noyau.
Est-ce toujours le cas, et quelle est l'explication ?
J'aurais pensé le contraire, on a une matrice avec 3 variables essentielles, soit 3 pivots, donc en retirant les éventuelles variables libres, on aurait une base donc la dimension serait égale au nombre de variables essentielles...
Merci de résoudre le mystère...
David
Bonsoir
Ta question n'est pas spécialement courte! c'est sans doute la réponse attendue qui est supposée l'être...
Je ne suis pas sûr d'avoir compris ce que tu appelles variable libre. Un exemple?
Je pensais que c'était assez rapide... C'est vrai que la réponse l'est... 
Les pivots sont les variables essentielles, les autres sont "libres". (les deux premiers 1 de gauche à droites sont les pivots)
Là, oui, la dimension de l'image (qui est le rang de l'application, ou le rang de la matrice) est le nombre de pivots - ici:2.
Ensuite, avec le théorème du rang, on en déduit que dim (Ker f) = 4-2 = 2
En fait, le nombre de pivots donne le nombre de vecteurs indépendants dans l'espace image. C'est le rang de l'application.
Là, en fait, c'est la matrice qui représente le noyau, c'est à dire que c'est la matrice A de l'équation AX=0.
Donc le nombre de pivot donne directement dim ker f, non ?
Et je ne comprend pas très bien le 4 du "4-2", ça ne serait pas 3 par hasard... J'ai du mal à voir qui est l'image alors que c'est moi qui ai tout posé
Si tu as 4 colonnes, c'est que tu as 4 vecteurs de base dans ton espace de départ, habituellement E.
Si tu as 3 lignes, c'est que tu as 3 vecteurs de base dans ton espace d'arrivée, habituellement F.
La matrice est le tableau de f(ei) (en colonnes) dans la base fj (en ligne)
La dimension de E est donc 4
La dimension de f(E) est 2 car 2 pivots
Le théorème du rang donne donc dim Kerf = 4 - 2 = 2
Merc, je n'avais pas compris cela.
Par contre :
3 vecteurs de base dans ton espace d'arrivée, habituellement F.
Le nombre de vecteur de base dans l'espace d'arrivée, qu'est-ce que c'est exactement ? Je m'imagine plutôt que chaque vecteur de l'espace d'arrivée aura 3 composantes...
Je m'imagine plutôt que chaque vecteur de l'espace d'arrivée aura 3 composantes...
Tu imagines bien! C'est pour cela qu'il y a 3 lignes: une pour chaque composante pour les vecteurs f(ei)
Parce que ta matrice a 3 lignes: chaque vecteur dans l'espace d'arrivée est défini par les 3 composantes selon les 3 vecteurs de base, qui se voient sur chacune de 3 lignes.
Si f1,f2,f3 sont les 3 vecteurs de base de F, alors:
f(e1)= 1.f1 + 0.f2 + 0.f3
f(e2) = 0.f1 + 1. f2 + 0. f3
etc...
D'accord là j'ai compris. Donc 4 vecteurs de bases pour les colonnes, les f(ei) et 3 vecteurs de base pour les lignes, les fj.
Merci c'est clair là ! Je n'avais pas compris "Vecteurs de base".
Merci Jeanseb ! Bonne soirée.
(pas si courte la question )
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