Bonjour,
Ce que tu essaie de prouver est faux (par exemple k[X]/X^n est une k-algèbre de dim finie qui n'est pas un corps)
Deja parler d'algèbre sans precises algèbre sur quoi... ca n'a aucun sens. SI A est une anneau, une A-algèbre B c'est tout simplement un anneau B muni d'un morphisme d'anneau A->B.

excuse moi je n'avais pas ecrit tout l'enonce....
A est une algebre reelle. On peut identifier ainsi R et Re qui en tant qu'anneau n'est pas forcement commutatif et qui n'a pas de diviseurs de 0.

Re? C'est quoi Re?
Je peux pas deviner ton enoncé si tu le mets pas en entier...

e ou e est l'element neutre de A pour la multiplication.

Oui, ok si tu vuex... il n'empeche que ton resultat est toujours faux...
Je te le repete R[X]/X^n est une R-algèbre de dimension finie qui nest pas un corps...
Il doit surement manquer une hypothese d'intégrite...

On a que A n'a pas de diviseur de 0, ca veut donc dire que A est integre.
Juste si A est une algebre, c'est bien un anneau non??

Oui c'est ça... (enfin intègre c'est etre commutatif et ne pas avoir de diviseur de zeros).
Dans ce cas c'est vrai et c'est tres simple, prend a non nul et regarde m_a la mulitplication par a qui va de A dans A, comme a n'est pas diviseur de zero, alors m_a est injectif et donc surjectif puisque A est de dimension finie.

Oui une algèbre c'st toujours un anneau, regarde la définition, je te l'ai donné.

ok. Quand on dit que A a une structure de corps ca veut dire que A possede les memes proprietes qu'un corps? i.e c'est une anneau et (A,x) groupe? Non?

Oui. En general on parle de corps uniquement s'il est commutatif on parle plutot d'algèbre divisible (ou corps gauche) si il n'est pas commutatif.
Mais sinon oui c'est ça (enfin c'est A-{0} et pas A qui doit etre un groupe mult), un corps c'est un anneau A tel que tout element  non nul soit inversible.

ok donc la j'ai bien le fait que A est un anneau. Il ne me reste plus qu'a montrer que (A*,x) est un groupe. Et c'est la ou l'integrite rentre en jeu. ok merci beaucoup!

J'ai un autre probleme..... Si on considere E={xA/x²A et x²0}, je dois montrer que xE-{0}, alors x commute avec y ssi y et x sont colineaires puis si uA-R, alors {vA,uv=vu}=u. mon probleme c'est que y appartient a quoi? A? E? Ce n'est pas precise... Donc je bloque un peu....
Puis que si A est un corps commutatif, alors A est isomorphe a C.
Mais si A est une R-algebre de dimension p, on ne peut pas dire qu'elle est isomorphe a R^p avec lequel on peut creer un isomophisme avec R² qui est lui-meme isomorphe a C? Ca m'a l'air bien tordu (et faux) comme raisonnement....
Aidez moi SVP!

Je comprends rien a ce que tu dit...
C'est quoi A ici? Toujours une R-algèbre qcq de dimension finie et sans diviseur de zero? Qu'est ce que ca veut dire x²<=0??

ouai A  c'est toujours la meme chose. DimA=p.
Pour le carre negatif, le tout debut de l'exo on nous fait etudier le corps de quaternions K. En nous disant que c'est une sous-algebre de M₂(C), etc.
Ensuite on passe a l'algebre A que j'ai definit avant et on identifie R a Re ou e est l'element neutre pour x de A.
e est la matrice identite.
C'est pour ca que j'ai un peu de mal. On melange matrices avec des reels, etc.

Je comprends toujours pas...A c'est une sous algèbre des quaternions? Quelle est la définition de x² <=0, ca n'a aucune sens dans une algèbre quelconque...
Si A est une R-algèbre bien sur que tu as une sous algèbre de A que tu peux "identifier" a R... toute fois ce n'est pas toujours injectif, ici comme R est un corps c'est bien injectif.
Donc dans A tu a une sous algèbre qui s identifie à R, c'est R.e (en general on note 1 et pas e et on note R tout court et pas R.1)
Tout comme dans C tu as une sous algèbre que tu identifies a R et que tu appelles R, sans plus de precaution.

Ensuite ton ensemble E ce serait pas {x dans A| x² dans R et x²<=0}?

Oui! excuse moi j'avais mal tape la definition de E. Ce que l'on me dit sur A:
A est une algebre reelle de dimension finie egale a p. Elle possede un element neutre pour x note e. On peut ainsi identifier R et Re. En tant qu'anneau, A est integre et pas necessairement commutatif.
On a que A a une structure de corps pas forcement commutatif, on definit E, puis j'ai les questions que j'ai tape plus haut.

Ok mais c'est juste qu'avec "ta" définition de E ca n'avait aps grand sens
Je regarde le reste.

merci beaucoup! Oui pour la definition de E... je ne sais pas relire un enonce...

Dsl mais ca me parait encore faux... Tu prends A=C (le corps des complexes) alors i est dans E, et i commute avec tout le monde, pourtant i n'est pas coliénaire a tout le monde...

hum... avant on etait dans M₂(C) et on etudiait le corps de quaternions... On est ensuite passe directement a A et ses definitions etc.
Je crois que la je t'ai bien donne tout mon enonce.... :S

Ben ecoute dit comme ca... c'est faux... Je t'ai meme donné un contre exemple, tu prends A=C, alors E=iR, et les elements de E commutent avec tout le monde...

je te crois je te crois. C'est juste que dans ce cas la.... je ne vois pas trop quoi faire...

Tu essaie en gros de demontrer que si l'agèbre est commutative elle est isomorphe a C... C'est vrai par la correspondance de Galois par exemple...
J'imagine qu'il y a un moyen elementaire de le prouver, ici je comprends pas trop l'ennoncé...
Notemment demander de prouver que si x est tel que x²<0 alors x commute avec tout le monde... c'est deja pas vrai dans C donc...

Ah par contre peut etre que y est dans E lui aussi... et la c'est peut etre vrai (en tout cas mon contre exemple ne marche plus parce que E c'est iR dans C qui est de dim 1). Je regarde.

non si x est tel que x²<0, alors x commute avec y <=> x et y sont colineaires. Ce ne veut pas dire que x commute avec tout le monde non?

Ben ca veut dire que si tu prends y quelonque si y commute avec x alors x et y sont colinéaires, donc comme i commute avec tout le monde il devrait etre colinéaire a tt le monde...ce qui n'est pas le cas.
Mais si on se restreint au y dans E, alors j'ai bien l'impression qu ca marche en effet.

donc a priori pour cette question on a y qui appartient a E? Ce n'est pas precise dans l'enonce et c'est pour ca que je bloque... enfin en partie en tout cas ^_^

Dans ce cs la ca marche en effet.
Prends x et y non nul tel que x²<0 et y²<0 et qui commutent, alors etudie le trinome (x+ty)²

Oui il faut supposer que y est aussi dans E, en gros on s'interese au couples de ExE qui commutent...

avec t reel? Parce que j'ai bien envie de dire que ce trinome est >0 et dire que c'est un polynome en y par exemple et calculer le discriminant. Mais on est pas dans C et donc les relations d'ordre ne veulent rien dire?

Pardon etudie plutot x²-t²y² pour t un réel.

Si j'etudie cette expression, je peux dire que c'est un polynome en x, calculer le discriminant voir que c'est negatif, trouve x en fonction de y? Je ne vois pas ou intervient le fait que x commute avec y...

Non c'est pas vraiment c qu'il faut faire...enfin pas loin.
Deja c'est un polynome en t et pas en x. Ensuite puisque x et y commutent on a P(t)=(x+ty)(x-ty)=x²-t²y².
Maintenant x² est dans R de meme que y² et donc x²-t²y² est juste un trinome dans R (on prends t dans R bien sur). Si x²=y² alors par intégrité et comme x et y commutent x=plus ou moins y et c'est fini.
Sinon on peut supposer sans perte de generalité que x²>y², alors pout t=0 on a P(0)=x²<0 et P(1)=x²-y²>0
Donc il existe s dans R tel que P(s)=0, donc (x+sy)(s-sy)=0, et donc l'un des 2 est nul et x=plus ou moins sy, avec s dans R... On a montré donc que x et y était colinéaires... la réciproque est évidente.

Remarque en calculant on discrminant on trouve -2x² qui est positif et on peut aussi s'en sortir comme ca...

ah ouai... Quand meme j'etais assez loin... Donc on a demontre ca pour E mais ensuite comment on utilise ca avec u dans A-R et v dans A qui commute avec v et quand on doit montrer que {v dans A/uv=vu}=RRu? Deja juste pour montrer l'egalite de ces deux ensemble dans la somme directe j'ai un peu du mal dans le sens non trivial... Enfin pour la somme directe, j'ai essaye de raisonner avec les dimensions mais je ne vois vraiment pas comment m'y prendre....

Non mais il st clair que cette somme est directe!
Ici u va jouer le role de i dans les complexes... R+Ru c'est en gros la decomposition partie reelle partie imaginaire.

Mais quand on dit u dans A-R, ca veut dire que U est un complexe et que sa partie imaginaire est non nulle non?
Donc R+Ru c'est pas Re(u) et Im(u) non?

Non ici on est pas dans le corps des complexes... u est dans A-R ca veut juste dire que u n'est pas dans R.

mais alors u est dans quoi? c'est la mon probleme c'est que j'ai beaucoup de mal a voir ce que A represrnte et donc ce que A-R est.

Aussi, pour montrer que x et y sont colineaires, on  considere x²>y². Donc ici pour ce cas ca marche. Mais si on prend x²<y² on ne peut plus conclure.
De meme pour x²=y², je ne vois pas comment tu trouve que x= plus ou moins y. On a quand meme que x et y ont des carres negatifs... on ne peut pas tout simplement passer a la racine...

A c'est une R-algèbre quelconque ca peut etre tres gros... beaucoup plus gros que C (comme l'gèbre des quaternions par exemple), on ne peut pas s'en faire de representation simple (enfin a priori).

Pour la suite je t'ai dit qu'on pouvait supposer que x²>y², si on a x²<y² ben on echange le role de x et y et on considère alors y²-t²x², et ca marche pareil.
Ensuite si x²=y², il n'est pas question de racine ici... mais c'st juste l'intégrité qui intervient, comme x et y commute (c'est clé quand meme partout cette commutativité) alors x²-y²=(x-y)(x+y) et comme c'est nul, par intégrité x=plus ou moins y.

Pour le reste j'ai bien une solution mais elle ne me plait pas... parce qu'elle utilise des trucs qui vont te paraitre artificiels... je pense qu'il y a plus elementaires.. je cherche encore un peu si je trouve aps mieux je te donnerai cette solution

ok merci beaucoup!! ^^

J trouve pas de demo simple... Je pense qu'on peut bricoler qqch en essayant de trouver un t tel que tu soit dans E... l'ennuie c'est que t ne commute pas avec v... on peut alors restreindre au commutant mais rien ne dit que E soit dans le commutant...
Je te donne quand mme une démo mais elle est trop sophistiquée pour le probleme...
Considère R[u] la sous algèbre enegendré par u, comme elle est de dimension finie, elle est isomorphe a R[X]/P ou P est un certain polynome, comme R[u] est intègre, alors P est irreductible il est donc de degré 2, et donc R[u]=R+Ru, la somme étant directe. NOte que R[u] est un corps, que l'on note k qui est alg clos car isomorphe à C
Maintenant on considère k[v] la k-algèbre enegdré par v, elle est de dimension finie elle aussi est isomorphe à un k[X]/P, et comme elle est intègre alors la aussi P doit etre irreductible il est donc de degré 1 et donc v est dans k...

ah ouai en effet, cette demo est assez elaboree pour un 'en deduire'... Je doute que ce soit cela qu'attende mon prof mais bon je retiens le raisonnement quand meme!

Pour montrer que A est isomorphe a C quand c'est un corps commutatif, est-ce que tu aurais une petite piste???? C'est le genre de question que je saute en general mais je me dit qu'il faudrait quand meme qu'un jour j'apprenne a faire un raisonnement pour ce genre de question ^^ Je suis desole de t'embeter avec des questions comme ca....

C'est un "En déduire" en plus, j'ai vraiment honte de pas trouver alors... Je pense qu'il doit y avoir un moyen vraiment elementaire... mais là je ne le vois pas...

Pour montrer que si l'agèbre est commutative alors elle est isomorphe a C, ben c'est facile comme u commute avec tout le monde alors A tout entier est de la forme R+Ru tu envoie 1 sur 1 et u sur une racine de son polynome minimal et tu as un isomorphisme sur C.

De toute façon il est bien clair que ma démo n'est pas celle attendue... Il doit certainement y avoir une astuce toute bete (comme celle de la question precedente) mais la je dois avouer que ca ne me vient pas....

hehe parfois on peut bloquer sur un truc tres tres simple pendant longtemps. Le mieux c'est de s'arreter un peu et de reprendre a tete reposee ^^.
Je ne comprends pas comment tu definis l'isomorphisme... C'est quoi le polynome minimal? On n'a pas encore fait la reduction....