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question d'algèbre linéaire
Bonjour à tous!
petit problème idiot, mais que je ne vois pas par quel bout prendre: E est un IK-ev, f un endomorphisme de E vérifiant f²-f-2id=0
je dois montrer que Ker(f+id) 
Ker(f-2id)=E
Quelqu'un aurait il un indice? Merci et bonne soirée à vous!
Je me disais aussi 
Bon eh bien on revient à la base.
On veut démontrer que ces deux espaces sont supplémentaires. Il faut donc démontrer qu'ils sont en somme directe et que leur somme est E tout entier.
Somme directe :
On considère x dans Ker(f+Id) et dans Ker(f-2id)
On a f(x)=-x et f(x)=2x
ainsi 2x=-x d'où x=0.
L'intersection des deux noyaux est réduite à {0}, ils sont donc en somme directe.
Ker(f+Id)+Ker(f-2Id)=E
On voit bien ce qu'on veut démontrer, on sait que (f+Id)o(f-2Id)=0, Ainsi on a envie de dire que
En fait cela va être vrai parce que les polynômes X+1 et X-2 sont premiers entre eux et
Posons alors x dans E et et
Je te laisse le soin de démontrer que et que
Le théorème des noyaux dit ça :
Soit P dans k[X] un polynôme , si P(X) = Q(X)R(X) est une décomposition en produit de deux termes premiers entre eux alors si u est un endomorphisme
Ker P(u) = Ker Q(u)+ Ker R(u) et la somme est directe.
Corollaire : si P(u)=0 alors E = Ker P(u)+ Ker Q(u)
remarque : une récurrence permet d'étendre à un produit de plusieurs polynômes premiers entre eux deux à deux.
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