Inscription / Connexion Nouveau Sujet
question sur les matrices
bonjour je suis en train de faire un exercice et je bloque à la dernière question. voici l'énoncé
soit f: Mn(K) 
K une fonction multiplicative. on suppose que f n'est ni la fonction nulle ni la fonction constante égale à 1.
on veut montrer f(A)=0 
det(A)=0
1) déterminer f(In) et f(0n)
f(In)=1 et f(0n)=1
2) montrer que f est non nulle sur les matrices inversibles
cette question j'ai réussi
3) soit r
{0,...,n-1} on considère le produit de toutes les matrices diagonales ayant chacune r fois 1 et n-r fois 0 sur leur diagonale.
que vaut ce produit? j'ai trouvé qu'il était nul
maintenant je dois en déduire que f s'annule sur toutes les matrices de rang r.
là je bloque
pouvez-vous m'aider?
merci davance
Bonjour.
1°) Je trouve f(On) = 0
3°) a/ Soit Ap l'une des matrices diagonales ayant r fois 1 et n-r fois 0 sur la diagonale. 1 
p
Alors, par permutation des vecteurs de base, on peut écrire que
On a donc, pour tout p : f(Ap) = f(Ur)
Donc, f(Ur) = 0
3°) b/ Toute matrice A de rang r est équivalente à Ur : il existe R et S inversibles telles que :
RAS = Ur
Donc, f(RAS) = f(Ur) = 0
f(R).f(A).f(S) = 0
Comme f(R) et f(S) sont non nulles : f(A) = 0
en fait pour trouver f(In) j'ai fais f(In)=f(InIn)=f(In)f(In) donc f(In)=1
et pareil pour f(On) c'est pour ça que je trouve 1.
Tu vas trop vite.
f(I.I) = [f(I)]² = f(I) f(I)[f(I)-1] = 0
Donc, deux solutions : f(I) = 0 ou f(I) = 1
Mais si f(I) = 0, alors, pour tout A, f(A.I) = f(A) = f(A).f(I) = f(A).0 = 0
Comme f est supposée non nulle, il reste seulement le cas f(I) = 1.
Fais la même chose avec O.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac