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quotients de Z-modules libres de même rang <oo
Bonjour,
J'ai un corps de nombres de degré
,
et
deux
-modules libres de rang
tels que
.
Alors le groupe est fini.
Pour la démo il suffit de prouver l'existence d'une -base
de
et d'entiers naturels non nuls
de sorte que
soit une
-base de
, mais je ne vois pas comment.
Merci pour vos indications.
re : quotients de Z-modules libres de même rang Salut romu
Il n'y aurait pas un théorème qui te donnerait ce que tu veux (à moins, bien sûr que cet exo te demande justement de le montrer) ?
De plus, K ne semble jouer aucun rôle ici.
Kaiser
Salut Kaiser,
oui tu as raison, je n'avais pas pensé à regarder le cours de l'année d'avant,
où il est précisé que ça vient du théorème de la base incomplète (que j'avais totalement zappé 
).
Merci
re : quotients de Z-modules libres de même rang Mais je t'en prie ! 
je suppose que tu voulais dire : théorème de la base adaptée (et non incomplète) ?
ceci dit, ce théorème ne te fournira pas une Z-base mais uniquement une base du groupe abélien L (une Z-base de cardinal d doit être une famille libre sur un certain corps, ce qui n'est pas le cas des bases d'un groupe, en général) mais ce n'est pas grave, ça suffit largement.
dans mon cours il est nommé ainsi, mais c'est vrai que le terme "adaptée" me parait plus pertinent vu l'énoncé.
ce théorème ne te fournira pas une Z-base mais uniquement une base du groupe abélien L (une Z-base de cardinal d doit être une famille libre sur un certain corps, ce qui n'est pas le cas des bases d'un groupe, en général)
Je n'ai pas saisi la nuance. Le groupe
re : quotients de Z-modules libres de même rang dans mon cours il est nommé ainsi, mais c'est vrai que le terme "adaptée" me parait plus pertinent vu l'énoncé.
ben en fait, pour moi, le théorème de la base incomplète c'est complètement autre chose : c'est le théorème qui dit que dans un espace vectoriel de dimension finie, si L est une famille libre et G une famille génératrice contenant L, alors on peut trouver une base B contenant L et incluse dans G.
Je n'ai pas saisi la nuance. Le groupe (L,+) est un
Si, c'est la même chose mais ce que je veux dire c'est qu'une Z-base ce n'est pas la même chose qu'une base tout court, enfin, d'après ce que j'ai vu (après ça dépend des définitions de chacun).
Pour ma part, dans le cas où on a L un Z-module libre de rang d inclus dans par exemple, un
Exemple : dans
Kaiser
on considère le Z-module engendré par 1 et
le Z-module engendré par 1 c'est Z et donc 2 est dedans (1,2 ) n'est pas Z-libre puiszque égal à 2=2x1
c'est bien le théoème dit de la base adaptée (valable pour les modules sur Z ou sur un anneau euclidien) qu'il faut utiliser,
théorème qui n'a rien à voir avec le théorème de la base incomplète valable pour des ev sur des corps.
dernière précision : le Z-module engendré par 1 c'est le groupe' abélien engendré par 1 et c'est Z tout entier
re : quotients de Z-modules libres de même rang apaugam > oui, bien sûr, je voulais dire 1 et (je n'ai pas pris la peine de vérifier ce que j'ai écrit).
Kaiser
d'accord
mais c'est bien un Z-module libre de rg 2 mais pas un réseau
car 1 et ne sont pas libre sur R
re : quotients de Z-modules libres de même rang oui, tout à fait, c'est d'ailleurs, exactement ce à quoi je faisais allusion (en disant que ce n'était pas une Z-base).
Kaiser
re : quotients de Z-modules libres de même rang Dans ce cas, ce n'est qu'une question de vocabulaire : dans un cours sur les réseaux que j'ai eu l'an dernier, il y est précisé qu'une Z-base de cardinal d doit être mieux que libre sur Z : elle doit être libre sur R (et donc, on parle de Z-base uniquement pour un réseau). Maintenant, soit je me suis totalement gouré, soit nos définitions sont effectivement différentes.
Kaiser
effectivement ds le chapitre sur les réseaux on emploi ce vocabulaire
mais un Z-module libre qui n'est pas un réseau admet aussi une base sur Z (libre et génératrice)
le théorème de la base adaptée porte sur les sous-modules M d'un module libre L quelconque(pas forcément un réseau) sur Z
on peut trouver une base de L et des entiers di tels que di divise di+1 et tels que
forment une base du ss module
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