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Racine carrée d'une matrice

Posté par
monrow Posteur d'énigmes 02-09-08 à 16:14

Bonjour

Une toute petite question:

Soit 3$A\in\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})

Comment montrer que 3$\sqrt{A} est un polynôme en 3$ A?

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Racine carrée d'une matrice 02-09-08 à 16:30

salut monrow

Il faut commencer par diagonaliser ta matrice et ensuite tu bidouilles.

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Racine carrée d'une matrice 02-09-08 à 16:37

Salut Kaiser !

Oui j'ai bien essayé, on travaille avec des matrices symétriques réelles donc elles sont diagonalisables (thm spectral).

On a alors: 3$ A=PD^tP et 3$ \sqrt{A}=PD_1 ^tP avec 3$ D=diag(\lambda_1,...,\lambda_n) et 3$ D_1=diag(\sqrt{\lambda_1},...,\sqrt{\lambda_n})

Si j'arrive à montrer que 3$ D_1 est un polynôme en 3$ D, ça sera parfait.


En effet, Si 3$ Q(D)=D_1 alors : 3$ Q(A)=Q(PD^tP)=PQ(D)^tP=PD_1 ^tP=\sqrt{A}

Une petite piste?

Posté par
kaiser Moderateurre : Racine carrée d'une matrice 02-09-08 à 16:39

Que vérifie ce polynôme vis à vis de ces valeurs propres (en termes d'égalité) ?

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Racine carrée d'une matrice 02-09-08 à 16:47

3$ Q(\mu_i)=\sqrt{\mu_i} si je note 3$ sp(A)=\{\mu_1,...,\mu_r\}

Posté par
kaiser Moderateurre : Racine carrée d'une matrice 02-09-08 à 16:50

Alors, en un mot, pourquoi un tel polynôme existe-t-il ?

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Racine carrée d'une matrice 02-09-08 à 16:53

Je comprends mieux, on prend alors Q le polynôme d'interpolation de Lagrange pour les valeurs 3$ \(\sqrt{\mu_1},...,\sqrt{\mu_r}\) en les points 3$\(\mu_1,...,\mu_r\),

c'est ça?

Posté par
kaiser Moderateurre : Racine carrée d'une matrice 02-09-08 à 16:55

toutafé.

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Racine carrée d'une matrice 02-09-08 à 16:58



Merci Kaiser !

Posté par
kaiser Moderateurre : Racine carrée d'une matrice 02-09-08 à 16:59

Mais je t'en prie !


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