euh suis-je bête.... il suffit de rajouter des lignes de 0 à la matrice racine carrée X... n'est-ce pas

... donc j'ajoute une condition: on n'autorise pas de ligne nulle dans la matrice X.

Et c'est bien cela la question qui m'intéresse.

Une idée ?

Bonjour stokastik

Je crois que c'est vrai. Au moins c'est vrai pour une matrice A diagonale à termes diagonaux strictement positifs. En effet les p colonnes de X sont p vecteurs de Rⁿ qui forment un système orthogonal et de norme racine(valeurs propres de A). Il n'y a
aucun doute que ça existe, et on peut certainement éviter une ligne nulle, en démarrant avec un vecteur dont toutes les coordonnées sont non nulles et en faisant un truc du genre Gram-Schmidt. Or toute matrice symétrique positive est diagonalisable, donc on doit pouvoir s'arranger par changement de base.

Bonjour Stokastic,

Si A est une matrice de taille pxp, et si la matrice X est de taille nxp, il est sûr que X.^tX ne peut pas être égal à A.
Maintenant, je suis sûr qu'avec la condition "p>n" il est impossible, en général, de trouver X de taille pxn telle que X.^tX=A.
je réfléchis encore pour le cas où p<n.

@ Camelia:
Je n'ai pas compris mais pas vraiment lu avec attention

@ Fractal:
je mets le "t" de transposée à droite et pas à gauche, donc c'est ok.

Merci pour votre intérêt.

Fractal, donc au final tu penses comme Camelia que la réponse est oui ?

_{C'est Fradel et non Fractal !}

en effet désolé Fradel

Pas moi, stokastik ; cette confusion est toute à mon honneur.

oui stockastik; je pense que la propriété est vraie pour des matrices symétriques à valeurs propres strictement positives. En revanche, je n'affirme rien pour les matrices symétriques positives de rang inférieur à p.

Ok mais moi je n'ai rien compris.

Ah vous voulez dire qu'avec Gram-Schmidt, on peut orthogonaliser vecteurs ?

... non parce que des vecteurs orthogonaux sont libres non ?..

J'ai perdu les pédales ou c'est vous ? Il ne peut pas y avoir n>p vecteurs orthogonaux dans . Ou c'est ma question qui n'a pas été comprise ? Ou bien quoi ?

Ah je crois que je commence à comprendre ma bêtise: c'est p vecteurs dans . Promis cette fois je vais réfléchir avant de reposter.

Alors, finalement tu y es ? C'est bien p colonnes dans R^n, avec p inférieur à n, donc en partant d'un vecteur non nul, (éventuellement toutes coordonnées non nulles, on peut le compléter en p vecteurs orthogonaux dont on corrige la norme. Je ne vois pas d'inconvénient à ce que sur la diagonale de A il y ait des 0...

Ok mais il me semble que pour finir il faut utiliser le théorème qui dit  qu'une matrice symétrique est diagonalisable avec une matrice de passage orthogonale non ?

En effet avec Gram-Schmidt on est arrivé à    pour matrice diagonale. Pour la cas d'une matrice symétrique quelconque, on prend orthognale telle que et on prend alors .

C'est ça ?

C'est exactement ça!