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Racine cubique

Posté par
kobeddl 16-01-10 à 03:33

Bonsoir,

J'ai une question sur les racines cubiques.

Si je souhaite resoudre x^3=a avec a une constante fixé.

Dois je dire que c'est racine cubique de a si a est positive tantôt - (moins) racine cubique de a si a est négative ?

Merci

Posté par
olive_68re : Racine cubique 16-01-10 à 03:59

Salut,

Une équation de degré 3 signifie qu'il y a 3 racines, et il y a de forte chance que deux d'entre elles soient complexes.

Qu'elles sont les racines cubique de 1 ?

Posté par
agnesire : Racine cubique 16-01-10 à 16:10

Bonjour;

Comme ceci :

x^3-b^3=\left(x-b\right)\,\left(x^2+b\,x+b^2\right) \\
b^3=a

\{x^2+b\,x+b^2=0\\x_1=-{{\left(\sqrt{3}\,i+1\right)\,b}\over{2}}\\x_2={{\left(\sqrt{3}\,i-1\right)\,b}\over{2}}

en remplaçant b=a^{\frac{1}{3}}

\left[x_1={{\left(\sqrt{3}\,i-1\right)\,a^{{{1}\over{3}}}}\over{2}},x_2=-{{\left(\sqrt{3}\,i+1\right)\,a^{{{1}\over{3}}}}\over{2}}, x_3= a^{{{1}\over{3}}}

Posté par
kobeddlre : Racine cubique 16-01-10 à 16:25

Je souhaite resoudre l'équation x^3=a dans IR, donc avec une unique solution.

Posté par
agnesire : Racine cubique 16-01-10 à 18:03



x=a^{\frac{1}{3}

Posté par
kobeddlre : Racine cubique 17-01-10 à 01:56

Oui mais si x^3 est negative c'est faux.

Posté par
agnesire : Racine cubique 17-01-10 à 04:46

Bonjour;

Si l'équation de départ est:

x^3-a=0

Alors; il ne reste plus qu'a écrire de nouvelles théories pour résoudre les équations.

Posté par
freniclere : Racine cubique 17-01-10 à 08:12

Bonjour

Si a est un réel positif, on note 3$\sqrt{a} l'unique réel positif dont le carré vaut a.
L'équation x2 = a admet donc deux racines, 3$\sqrt{a} et 3$-\sqrt{a}

La situation est un peu différente pour la racine cubique.
Si a est un nombre réel de signe quelconque, on note 3$\sqrt[3]{a} l'unique nombre réel dont le cube vaut a.
Par exemple, \sqrt[3]{8} = 2 et \sqrt[3]{-8} = -2.

La notation a1/2 ou a1/3 et plus généralement a1/n est usuellement réservée au cas où a est un réel strictement positif, et désigne le réel strictement positif dont la puissance nième vaut a.

Donc tu peux noter la racine réelle de ton équation soit 3$\sqrt[3]{a} (dans tous les cas), soit a1/3 si a > 0, soit -|a|1/3 si a < 0.


N.B. Je me suis placé uniquement dans le cas où on ne parle que de réels.

Posté par
kobeddlre : Racine cubique 17-01-10 à 14:24

Merci

Je peux géneraliser au puissances impairs je suppose ?

Posté par
freniclere : Racine cubique 17-01-10 à 17:18

Oui bien sûr.

Posté par
kobeddlre : Racine cubique 17-01-10 à 19:49

Merci

Posté par
freniclere : Racine cubique 17-01-10 à 19:49

De rien


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