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Racine d'un polynome trigonométrique (?)

Posté par
prof shadoko 20-02-09 à 17:32

Bonjour à tous

Voilà mon problème :

Soit n \in \mathbb{N}\\P_n = \frac{1}{2i} [ (X+i)^{2n+1} - (X-i)^{2n+1} ]

La question : trouver les racines du polynome Pn (" une expression trigonométrique simple")
On reconnait un semblant de formule d'Euler pour le sinus, mais comment l'exploiter ?

Merci pour votre aide
PS

Posté par
MatheuxMatoure : Racine d'un polynome trigonométrique (?) 20-02-09 à 18:29

bonsoir

remplaces voir X par cotan(a)... c'est à dire 1/tan(a)... ou encore cos(a)/sin(a)... cela te donnera peut être une piste

Alain

Posté par
jandri Correcteurre : Racine d'un polynome trigonométrique (?) 20-02-09 à 18:31

Bonjour prof shadoko,

Il suffit d'écrire que \frac{z+i}{z-i} est égal à une racine (2n+1)ème de 1 (forcément différente de 1) et on en déduit tous les z.
Tu vas obtenir 2n racines réelles.


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