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racine primitive de 31eme de l'unité
on a F=F2[x]/x5+x2+1 et 
l'image de x dans F.
comment montrer sans calcul que est racine primitive 31eme de l'unité dans F?
Bonjour !
est un polynôme irréductible de
.
Par conséquent, , le corps à 32 éléments, et tout élément non nul de
est donc une racine 31-ième de l'unité. (le groupe multiplicatif des éléments non nuls de
est d'ordre 31)
On sait que l'ordre de dans le groupe multiplicatif
divise 31, par le théorème de Lagrange, or 31 est premier, donc l'ordre de
est soit 1, soit 31. L'ordre de
ne peut donc être que 31.
la reponse que j'avais en tete est : du fait que est racine de g , donc g()=0 , par ailleur on sait que g divise x^32-x donc est racine de x^32-x donc ^32-=0 , alors ^32= on obtient avec ca ^31=1 donc est racine 31eme de l'unité .
mais est ce consideré comme etant une reponse sans calcul ?
et encore une question , qu'on ont nous demande de DETERMINER les polynomes irreductible de degré 5 par exemple ,est ce qu'il y a une methode ou juste en essayant toutes les possibilités de polynomes de degré 5?
Oui, on peut dire que c'est sans calcul. Néanmoins, ma méthode demande moins de "connaissance" : on est pas obligé de savoir que g divise .
Pour déterminer tous les polynômes irréductibles, il n'y a pas de méthodes miracles à ma connaissance, il faut tester tous les polynômes de degré 5. (unitaires bien sur, puisque les autres s'en déduisent par multiplication par un élément non nul, mais bon dans , ça ne change rien ^^)
Pour tester si un polynôme est irréductible, tu peux soit établir la liste des polynômes irréductibles de degré inférieur, et tester lesquels divisent ton polynôme, soit utiliser l'algorithme de Berlekamp.
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