Niveau Licence Maths 1e ann

racines dans C d'un polynome caracterisque

Posté par
Asin 22-05-09 à 03:35

Bonjour à tous

comment trouver les racines du polynôme caractéristique -x³-1 dans et ?

dans , c'est très simple, je trouve 1, mais je ne sais pas comment faire pour .

merci de votre aide.

Posté par re : racines dans C d'un polynome caracterisque 22-05-09 à 05:04

C'est plutôt $-1$ l'unique racine réelle du plynôme $P(X)=-X^3-1$ non ?

les racines complexes s'obtiennent en écrivant $P(X)=(-X)^3-1$

ce sont donc les opposés des racines cubiques de l'unité à savoir :

$2$\fbox{-1}$ , $2$\fbox{-j=e^{-i\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt3}{2}}$ et $2$\fbox{-j^2=-\large\bar{j}=e^{i\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}}$ _{sauf erreur bien entendu}

Posté par re : racines dans C d'un polynome caracterisque 22-05-09 à 23:34

merci pour cette réponse mais je n'ai pas tout suivi:

p(x)= (-x)³ -1 = (-x)³ + (-i)²

mais aprés je sais plus quoi faire...

Posté par re : racines dans C d'un polynome caracterisque 22-05-09 à 23:39

Salut,

Relis plus attentivement ce qu'il a mis plus haut

On a $3$(-X)^3=1$

Maintenant, les solutions de $3$Y^n=1$ dans C sont appelées les racines n-ièmes de l'unité.
Et s'écrivent sous la forme $3$ e^{i\frac{k\pi}{n}}$ , $3$\forall k\in\{0,1,\dots,n-1\}$

Ici, n=3.

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