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Rafraichissement de mémoire sur les changement de bases
Bonjour à tous,
J'ai un exercice a faire sur les matrices et j'avoue que j'ai un doute sur une formule... J'ai cherché et trouvé des réponses sur internet, mais malgré cela, un doute persiste.
J'ai une matrice 3*3 représentant les coordonnées de 3 vecteurs. On me demande de trouver la décomposition QR de la matrice via la méthode de gram schmidt (Q matrice orthogonal, R triangulaire supérieure), ce que j'ai réussi à faire
On me demande alors les coordonnées de mes 3 vecteurs en utilisant la base orthogonal trouvée avec Q.
Ai je raison de conclure que les coordonnées de mes 3 vecteurs sont les 3 colonnes de la matrice R, ou est ce quelque chose de complétement différent?
Merci d'avance
s'il vous plaiiiiiiiiiiiiiiiiiiit !
J'ai une matrice 3*3, et une matrice Q orthogonal.
Si on veut savoir les coordonnés des vecteurs de la matrice en utilisant la base Q, la formule c'est Q*M ou Q-1 * M * Q ou Q * M * Q-1??????????????????
Bonjour.....
Mes souvenirs sur ce genre d problèmes remontent à très longtemps.....
Mais si on m'explique, je veux bien essayer d'aider:
quelle était la matrice?
quelle est la méthode de Gram Schmidt?
quels sont les résultats...
J'ai une matrice M = [x1,x2,x3] ou x1 = (1,2,3), x2=(2,3,1) et x3=(3,2,1) (vecteur colonne)
La méthode de GS permet de décomposer M en un produit de 2 matrices Q orthognal, et M une matrice triangulaire supérieure.
J'ai trouvé ces deux matrices (méthode explicite dans mon sujet), donc j'ai M = Q * R.
La question suivante est de donner les coordonnées de vecteur x1,x2,x3 dans la base orthognale formée par Q.
Et je ne me souviens plus si les coordonnées sont données par Q-1 * M * Q, ou bien si c'est Q * M, ou Q * M * Q-1....
Bonjour,
Si mes souvenirs sont bons, avec la méthode de Gram-Schmidt, Q est la matrice d'une base orthonormale telle que
où les
sont les vecteurs-colonnes de M (je ne sais plus ce que l'on fait si les
ne sont pas libres...)
R est alors la matrice de terme général et l'égalité M=QR exprime le fait que la base B' étant orthonormale, on a
(merci de me corriger si je me trompe 
j'ai un peu oublié tout ça...)
Q est donc la matrice de passage de B à B'. Donc on a (où
est le vecteur des composantes dans la base B' du vecteur de composante
dans la base B) et donc
Donc à mon (très humble) avis, il faut faire .
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