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Rang d'une matrice

Posté par
masterrr 04-02-09 à 17:53

Bonjour,

Je n'arrive pas à trouver le rang de la matrice suivante.

4$A=\(\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&-2&2&2\\2&-1&0&2\\3&-1&1&1}\)

Les opérations élémentaires conservent le rang ; j'ai donc pivoter en utilisant la méthode de Gauss, sauf que j'obtiens que des coefficients nuls dans la première colonne. Du coup, pas de pivot...

4$A=\(\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&0&2&2\\2&0&0&0\\3&0&-1&1}\)

Comment faire ?

Merci d'avance .

Posté par
gui_toure : Rang d'une matrice 04-02-09 à 18:44

Salut

la but du jeu c'est d'avoir une matrice triangulaire supérieure, donc ne touche pas à la première ligne

Posté par
masterrrre : Rang d'une matrice 04-02-09 à 18:54

Oups j'ai pas marqué les bonnes matrices en plus... Parce que oui je sais que le but est d'obtenir une matrice triangulaire supérieure sauf que j'ai un problème dès le départ.

J'ai la matrice : 4$A=\(\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&0&-2&0\\2&0&0&0\\3&0&-1&1}\).

Du coup, aucun des coefficients de la première colonne n'est non nul, donc pas de pivot...

Comment connaître le rang ?

Merci d'avance.

Posté par
masterrrre : Rang d'une matrice 04-02-09 à 18:57

En fait, c'est bon !

J'avais oublié qu'on pouvait aussi réaliser des opérations sur les colonnes. Du coup, après opérations élémentaires sur lignes/colonnes j'obtiens bien une matrice triangulaire supérieure.

D'où le rang de la matrice qui est 1.

Merci quand même ! Bonne soirée.

Posté par
masterrrre : Rang d'une matrice 04-02-09 à 19:03

Non en fait ça va pas... Je trouve deux pour le rang alors que je devrais trouver un...

Vous trouvez quoi vous ? Merci...

Posté par
gui_toure : Rang d'une matrice 04-02-09 à 19:04

Ba là le rang est assez évident.

3$\rm rg(A) = dim( Vect\{C_1,C_2,C_2\} ) avec 3$\rm C1=\(0\\0\\0\) , 3$\rm C1=\(-2\\0\\-1\) , 3$\rm C1=\(0\\0\\1\)

C1 est le vecteur nul de IR3 donc
3$\rm rg(A) = dim( Vect\{C_2,C_2\} )

Ensuite, on voit bien que C2 n'est pas proportionnel à C3, donc la famille (C2,C3) est libre, donc 3$\rm rg(A) = dim( Vect\{C_2,C_2\} ) = 2

Si tu veux faire la méthode du pivot : on a un 0 sur la colonne de gauche .. et on ne sait pas faire, il nous faut un terme non nul !

L'idée, c'est que permuter deux lignes ou deux colonnes ne change pas le rang (car on effectue des opérations bijectives cf cours)

Du coup, permute C1 et C2, élimine le -1 en bas à gauche, puis permute L2 et L3, et après C2 et C3.

Tu retrouveras rg(A)=2

mais bon là "ça se voit" que le rang vaut 2

Posté par
masterrrre : Rang d'une matrice 04-02-09 à 19:16

Oui ici le rang vaut effectivement 2. Sauf que c'était toujours pas la bonne matrice... Il fallait lire un 2 sur la troisième colonne de la première ligne, désolé.

Du coup, je trouve un rang de 1, c'est ce qu'il fallait obtenir.

Conclusion : tout va bien.

Merci quand même, la prochaine fois je serai plus attentif aux coefficients matriciels...

Bonne soirée.

Posté par
gui_toure : Rang d'une matrice 04-02-09 à 19:19

Je trouve que le rang de 4$A=\(\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&0&-2&0\\2&0&0&0\\3&0&-1&2}\) est 2

et que le rang de 4$A=\(\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&-2&2&2\\2&-1&0&2\\3&-1&1&2}\) est 3

Posté par
gui_toure : Rang d'une matrice 04-02-09 à 19:20

Ok j'ai rien dit je sais pas lire

Oui oui le rang vaut bien 1.

Chaque matrice colonne est proportionnelle à une même matrice de R3


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