Bonjour.

Le rang d'une matrice, c'est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par ses vecteurs lignes. (ou colonnes)

Si tu connais les déterminants, ta matrice carrée est d'ordre 3 avec un déterminant non nul, elle est donc inversible, et donc de rang égal à 3.

Sinon, tu peux déterminer le noyau de ta matrice, déterminer sa dimension, et utiliser le théorème du rang pour trouver le rang.
Ici, le noyau est constitué uniquement du vecteur nul, d'où le résultat.

Si le déterminant est non nul, alors A est de rang 3.
Sinon, il faut trouver un déterminant de rang inférieur non nul.

la thèorie:

si on note i;j;k les vecteurs de base ....
et u l'application linéaire associée....

u(i)=i+k
u(j)=i
u(k)=i+j+k

on résout:
u(xi+yj+zk)=0

c'est à dire
x(i+k)+yi+z(i+j+k)=0i+0j+0k
on trouve x=0;y=0;z=0....
le noyau est réduit au vecteur nul...

il existe une méthode beaucoup plus rapide et efficace qui consiste à calculer le déterminant de la matrice comme l'a indiqué Arkhnor....le déterminant est non nul


ceci prouve que l'application u est bijective....

Merci de vos réponses, à vrai dire, j'ai pas vu énormément de choses sur les matrices, je me suis renseigné sur un site web pour les déterminants, je pense que je vais réussir à me débrouiller pour les calculer.

Tu peux m'expliquer sur un exemple comment faire tout cela s'il-te-plaît ?

C'est ce qu'à fait esta-fette, il faut résoudre le système , et déterminer la dimension du sous-espace des solutions.
D'après le théorème du rang, on a : , où n est le nombre de colonnes de A, ce qui permet de déterminer
Ce raisonnement est valable avec toutes les matrices, même non carrées.

Si tu veux utiliser les déterminants, le rang de A est l'ordre du plus grand déterminant extrait de A non nul.
Il faut donc regarder les matrices carrées "contenues" dans A, et calculer leurs déterminants.
Si A est de taille (n,m), on regarde d'abord les matrices d'ordre min(n,m), si un déterminant est non nul, alors le rang est égal à min(n,m), si tous les déterminants sont nuls, on regarde les matrices d'ordre min(n,m) - 1, etc ... jusqu'à trouver un déterminant non nul.

Merci à vous 3 pour vos réponses

Je m'attaquerai à l'exo un peu plus tard, je reposterai probablement sur ce topic durant le week-end

Merci, et p'tet à très vite alors

det B = 1*5-4(-1) = 9 0, B est donc inversible d'où rg(B) = 2.

Autre méthode :

B.X = 0 = 0

rg (B) = n - dim (ker B) = 2-0 = 2

Quelqu'un peut-il me dire ce qui va et ce qui ne va pas sur cet exemple ?
Merci.

C'est tout juste !

C.X = 0 = 0



\.\{\array{x+y+z=3\\2y=x+z\\2x+y=z}

Ok merci Arkhnor

Excusez-le post de 12h48, c'est ce qu'on appelle une "boulette"

C.X = 0 = 0

soit







d'où x=y=z=0

rg(C) = 3-0 = 3

C'est bon ?

Je ne suis pas d'accord avec toi, je trouve que le noyau est de dimension 1.
Je ne vois pas comment tu arrives à l'équation .

Exact, il y a une erreur, je vais voir comment je peux rectifier ça

Pour le système, je trouve comme solutions :

S = { z(2,-1,1) | z }

rg (C) = n - dim (ker C) = 3 - 1 = 2

C'est bon ?

C'est juste !

Ok

On continue si tu veux bien :



E.X = 0  







d'où x=y=z=0

rg (E) = 3 - 0 = 3

C'est juste, mais tu te compliques un peu la vie pour la résolution, la troisième équation donne , en reportant dans la seconde, on obtient , soit donc , et par la première équation, on obtient .

C'est vrai, c'est vrai, mais ça me fait travailler mes équations au moins

Voici la dernière matrice :




D.X = 0      







d'où y=

et x = = = =

On a alors S= { z (-1/4 ;1/2 ; 1 ; 0) + t (-1/2 ; 6/5 ; 0 ; 1) | z,t }

ker(D) = 2

rg(D) = 4 - 2 = 2

C'est ok !

Ok

Grand merci Arkhnor pour ton aide

Dernière petite question, en rapport avec tout ce qu'on a fait :

On me demande de résoudre les systèmes d'équations homogènes qu'on a vus (les systèmes concernant B, C, D et E) en utilisant les résultats des questions précédentes.

Je ne comprends pas bien la question, étant donné que c'est justement en résolvant ces systèmes qu'on trouve le rang de la matrice.

Une idée peut-être ?

L'exercice attendait surement qu'on détermine le rang par une autre méthode, peut-être avec les déterminants.

Ok, je verrais tout ça en TD de toute façon

Merci beaucoup de ta participation et de ton aide

A+

*verrai oups

De rien.

A bientôt.