Bonjour olive,

Sauf erreur, je trouve pour n=3 det A₃=-8 donc non nul
Le rang serait donc au moins 3.

Det(A) = Det(B) où B M_n(K) vérifie B(p,q) = 0 si q < p et B(1,n) = B(2,n-1) =....= B(k,n+1-k) =...= B(n,1) = 2 .
A est donc inversible , donc de rang n .

Bonjour Olive !

Comment vas-tu ?

La matrice A n'est pas inversible pour tout n. Par exemple pour n=4 et même au delà, elle ne l'est plus !
En fait, on peut séparer les cas selon n.

   ¤ Si n=1,3, la matrice A est inversible pour tout paramètre alpha.
   ¤ Si n=2, A est inversible sauf pour 2 valeurs précises qui lui impose alors un rang égale à 1.

   ¤ Si n4, on peut ramener via des opérations élémentaires de lignes et colonnes la matrice A a une matrice de meme rang, et plus simple.
J'ai griffonné un truc donc je te laisse vérifier si ce que je te propose mene bien à rg(A)=3 :



Finalement et si j'ai pas écrit de betise,   est équivalente à (qui est bien de rang 3 elle).

(Pour faire oublier ma bourde d'hier soir , à moins que ce que je vais raconter en soit une autre):

1.On a : (X + 3)² = 3(X+2)² - 3(X + 1)² + X² .

2.Soient n est un entier 3 et x . Posons , pour p {1,2,...,n}  , v_p = ((x+p)²,(x+p+1)²,....,(x+p+n-1)²) ⁿ = E .
La matrice A_n des coordonnées des v_k dans la base canonique de E est celle dont on cherche le rang (x remplace )
Si V = .v₁+....+.v_n , les relations :
v_n = 3v_n-1 - 3v_n-2 + 3v_n-3
......
v₄ = 3v₃ - 3v₂ + 3v₁
qui résultent de 1. montrent que  V = .v₁+.v₂+.v₃.
Comme {v₁,v₂},v₃} est libre (Det(A₃) = -8) on a : dim(V) = 3 = rang(A_n) .

Bonjour à tous

Content d'avoir eu autant de réponse ^^ Merci à tous

Narhm >> _{Ca va merci ! et toi ?} C'est plus ou moins ce que j'ai fais en khôlle, j'ai dû abusé de simplifications et j'ai dézingué des trucs qu'il ne fallait pas ^^.

kybjm >> Bien vu !! si j'avais pu sortir ça en khôlle ... en tout cas bien vu