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rang, trace et determinant dun endomorphisme

Posté par
c-jay7 28-09-07 à 00:28

bonsoir tout le monde

DOnc je trouve du mal evec lexo suivant:
soit A et B des matrices de Mn(K).
Soit f lendomorphisme de Mn(K) dans Mn(K) tel que f(M)=AM
Calculer le rang, la trace et le determinant de cet endomorphisme

Meme questions losque f(M)=AMB


MErci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : rang , trace et déterminant d'un endomorphisme. 28-09-07 à 02:31

Bonsoir c-jay7 ;

Soit \fbox{A=(a_{ij})} et \fbox{B=(b_{ij})} deux matrices données de M_n(K) ,

et 3$\fbox{f\hspace{5}{:}M_n(K)\to M_n(K)\\\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}M\to AMB} ( f est clairement un endomorphisme de M_n(K) ).

\fbox{1} Trace de f :

Si \fbox{(E_{ij})_{1\le i,j\le n}} est la base canonique de M_n(K) alors :

\blue\fbox{tr(f)=\Bigsum_{1\le i,j\le n}(f(E_{ij}))_{ij}=\Bigsum_{1\le i,j\le n}(AE_{ij}B)_{ij}=\Bigsum_{1\le i,j\le n}\hspace{5}(\Bigsum_{1\le k,\ell\le n}a_{ik}(E_{ij})_{k\ell}b_{\ell j}\hspace{5})\\\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}=\Bigsum_{1\le i,j\le n}a_{ii}b_{jj}=(\Bigsum_{i=1}^{n}a_{ii})(\Bigsum_{j=1}^{n}a_{jj})=tr(A).tr(B)}


\fbox{2} Rang de f :

\blue\fbox{rg(f)=rg(A).rg(B)} (pour la preuve je ferai un autre post) (sauf erreur bien entendu)





Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : rang , trace et déterminant d'un endomorphisme. 28-09-07 à 04:24

\fbox{3} Déterminant de f :

Si je ne me suis pas trompé on doit trouver 3$\blue\fbox{\det(f)=(\det(A).\det(B))^n}

Posté par
c-jay7re : rang, trace et determinant dun endomorphisme 28-09-07 à 12:29

bonjour Mr elhor_abdelali
Merci pour les reponses.
Mais je voudrais bien avoir la preuve du rang et du determinant, car je ne trouve pas. Merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : rang , trace et déterminant d'un endomorphisme. 28-09-07 à 17:42


Lemme :

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ,
F et G deux sous-espaces de E.

alors

l'ensemble des endomorphismes u de E tel que u(F)\subset G est un sous-espace vectoriel de \scr L(E)
de dimension \fbox{n^2-dim(F).codim(G)}.



Preuve du lemme :

Notons \scr U =\{u\in\scr L(E) / u(F)\subset G\} et soit S un supplémentaire de F dans E.

L'application 3$\fbox{\varphi\hspace{5}{:}\hspace{5}\scr U\to\scr L(F,G)\times\scr L(S,E)\\\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}u\to(u/_F\hspace{5},\hspace{5}u/_S)} est un isomorphisme d'espaces vectoriels. (fin de la preuve du lemme)



\fbox{2} Rang f :

\fbox{rg(f)=n^2-dim(Kerf) (théorème du rang)}

comme \fbox{Kerf=\{ M\in M_n(\mathbb{R}) / AMB=0 \}} on voit que si u est l'endomorphisme de \mathbb{K}^n canoniquement associé à M ,

3$\fbox{M\in Kerf\Longleftrightarrow u(Imb)\subset Kera} (où a et b sont les endomorphismes de \mathbb{K}^n canoniquement associés à A et B)

d'où (d'aprés le lemme) 3$\blue\fbox{dim(Kerf)=n^2-dim(Imb)(n-dim(Kera))=n^2-rg(A).rg(B)}

Posté par
c-jay7re : rang, trace et determinant dun endomorphisme 29-09-07 à 13:21

Merci.
et pour le eterminant??:s

Posté par
c-jay7re : rang, trace et determinant dun endomorphisme 30-09-07 à 09:57

JE voulais dire le DETERMINANT?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : rang , trace et déterminant d'un endomorphisme. 03-10-07 à 01:27

Pour établir que 3$\red\fbox{Det(f)=(Det(A).Det(B))^n} je propose d'abord de montrer le résultat suivant:

lemme:

Soit \fbox{A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{K})} et \fbox{M\in M_{n^2}(\mathbb{K})} telle que 4$\fbox{M=\(\begin{tabular}{ccccc}&a_{11}I_n&a_{12}I_n&.&.&a_{1n}I_n\\&a_{21}I_n&a_{22}I_n&.&.&a_{2n}I_n\\&.&.&.&.&.\\&.&.&.&.&.\\&a_{n1}I_n&a_{n2}I_n&.&.&a_{nn}I_n\\\end{tabular}\)}

où I_n est la matrice unité de M_n(\mathbb{K}).

Prouver que 3$\blue\fbox{Det(M)=(Det(A))^n} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
mic_duderinore : rang, trace et determinant dun endomorphisme 13-07-08 à 19:25

Bonsoir,

je n'ai pas réussi à démontrer le dernier résultat, et je ne vois pas comment il peut donner la réponse pour le déterminant :

le déterminant de f:M->AM, c'est bien :  Det (A*E11,A*E12,.....A*E1n,A*E2n,........A*Enn) ??

Ca ne me redonne pas le M fourni en question précédente.

Merci d'avance pour vos réponses.

Posté par
mic_duderinore : rang, trace et determinant dun endomorphisme 18-07-08 à 00:13

Si une âme charitable passe dans le coin ^^.

Merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : rang, trace et determinant dun endomorphisme 18-07-08 à 16:30

Bonjour

A partir de la formule de M fournie par elhor_abdelali dans son dernier post, on trouve bien det(M)=det(A)n après des permutations de lignes et colonnes. Regarde en détail pour n=2!

\(\begin{array}{cccc} a & 0 & b & 0\\ 0 & a & 0 & b\\ c & 0 & d & 0\\ 0 & c & 0 & d\end{array}\)=\(\begin{array}{cccc} a & 0 & b & 0\\ c & 0 & d & 0\\ 0 & a & 0 & b\\ 0 & c & 0 & d\end{array}\)=\(\begin{array}{cccc} a & b & 0 & 0\\ c & d & 0 & 0\\ 0 & 0 & a & b\\ 0 & 0 & c & d\end{array}\)

Posté par
mic_duderinore : rang, trace et determinant dun endomorphisme 18-07-08 à 18:19

Merci pour cette partie, je pensais bien à une permutation mais en dimension n ça paraissait pas si évident.

Ce que je ne comprends toujours pas, c'est pourquoi la matrice de l'endomorphisme serait cette matrice M (d'ailleurs quelle est la base choisie? Les Eij?).

Posté par
Camélia Correcteurre : rang, trace et determinant dun endomorphisme 19-07-08 à 17:28

D'abord il me manque un "-" devant la deuxième matrice, une transposition de lignes ou colonnes changeant le signe du determinant.

La base choisie est bien celle des Ei,j
ordonnés par ordre lexicographique.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : rang, trace et determinant dun endomorphisme 23-10-09 à 22:20

pour achever la réponse :

En notant \scr B la base canonique de \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) ordonée comme suit \scr B=(E_{11},E_{12},...,E_{1n},E_{21},E_{22},...,E_{2n},...,E_{n1},E_{n2},...,E_{nn})

il n'est pas difficile de voir que 5$\fbox{matr_{\scr B}(f)=\(\begin{tabular}{cccccc}a_{11}\;^tB&a_{12}\;^tB&.&.&a_{1n}\;^tB\\a_{21}\;^tB&a_{22}\;^tB&.&.&a_{2n}\;^tB\\&&&&\\.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.\\a_{n1}\;^tB&a_{n2}\;^tB&.&.&a_{nn}\;^tB\\\end{tabular}\)} qui s'écrit aussi :


5$\fbox{matr_{\scr B}(f)=\underb{\fbox{\(\begin{tabular}{cccccc}a_{11}\;I_n&a_{12}\;I_n&.&.&a_{1n}\;I_n\\a_{21}\;I_n&a_{22}\;I_n&.&.&a_{2n}\;I_n\\&&&&\\.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.\\a_{n1}\;I_n&a_{n2}\;I_n&.&.&a_{nn}\;I_n\\\end{tabular}\)}}_{M}\;\times\;\underb{\fbox{\(\begin{tabular}{ccccc}^tB&0&\ldots&\ldots&0\\0&^tB&\ddots&&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&&\ddots&\ddots&0\\0&\ldots&\ldots&0&^tB\\\end{tabular}\)}}_{N}}

4$N étant diagonale par blocs on a clairement 4$\blue\;\fbox{detN=(detB)^n}

4$M étant la matrice dans 3$\scr B de l'endomorphisme 4$g\;:\;X\to AX ,

il n'est pas difficile , en notant \scr B^'=(E_{11},E_{21},...,E_{n1},E_{12},E_{22},...,E_{n2},...,E_{1n},E_{2n},...,E_{nn}) , de voir que ,

5$\fbox{matr_{\scr B^'}(g)=\(\begin{tabular}{ccccc}A&0&\ldots&\ldots&0\\0&A&\ddots&&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&&\ddots&\ddots&0\\0&\ldots&\ldots&0&A\\\end{tabular}\)}

et donc que 4$\blue\;\fbox{detM=(detA)^n} sauf erreur bien entendu

Posté par
Camélia Correcteurre : rang, trace et determinant dun endomorphisme 24-10-09 à 14:33

Bonjour elhor Une petite réminiscence?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : rang, trace et determinant dun endomorphisme 24-10-09 à 19:26

Bonjour Camélia

j'ai donné cet exercice en TD de spé TSI comme exemple de calcul de trace , rang et déterminant d'un endomorphisme en dimension finie

et comme en général on n'a pas le temps de corriger tous les exercices de TD il fallait achever ma réponse sur l'île pour une consultation éventuelle de la part des élèves


à propos : as tu une méthode plus simple que la mienne pour montrer que \;rgf=rgA.rgB\;?

Posté par
Camélia Correcteurre : rang, trace et determinant dun endomorphisme 25-10-09 à 14:56

> elhor Pour les rangs je n'ai pas trop réfléchi...mais ta méthode parait assez rapide! Si j'ai une illumination, je te dirai...

Posté par
Camélia Correcteurre : rang, trace et determinant dun endomorphisme 27-10-09 à 14:13

Bonjour elhor

Voilà une solution différente de la tienne, pas forcément plus simple, mais peut-être plus naturelle.

Je note a et b les endos associés à A et B, q=rg(A) et p=rg(B). On sait (enfin, toi et moi nous savons) qu'il existe des bases e_1,...,e_n et e'_1,...,e'_n telles que b(e_i)=e'i pour 1\leq i\leq p et b(e_i)=0 pour p+1 \leq i \leq n et aussi des bases \varepsilon_1,...,\varepsilon_n et \varepsilon'_1,...,\varepsilon'_n telles que a(\varepsilon_i)=\varepsilon'_i pour 1\leq i\leq q et a(\varepsilon_i)=0 pour q+1\leq i\leq n.

Pour 1\leq s\leq n et 1\leq t\leq n soit u_{s,t} l'endomorphisme défini par u_{s,t}(e'_i)=\delta_{s,i}\varepsilon_t et soit v_{s,t} défini par v_{s,t}(e_i)=\delta_{s,i}\varepsilon'_t.

La famille des u_{s,t} et celle des v_{s,t} sont évidemment libres, chacune a n^2 éléments donc elles sont des bases de l'espace des endomorphismes. Si je ne me suis pas mélangée dans mes indices, f(u_{s,t})=v_{s,t} si 1\leq s\leq p et 1\leq t\leq q et f(u_{s,t})=0 si s> p ou t > q.

Ceci prouve que (v_{s,t})_{1\leq s\leq p\\ 1\leq t\leq q} est une base de Im(f).


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