Salut

Reviens à des endomorphismes si tu veux, c'est assez immédiat.

mais je ne comprends pas les liens entre les endomorphismes et les matrices, dans chaque exercice ça me pose problème

Comment calculer le rang d'un endomorphisme ? ( s'il n'y a pas de matrice )

Le rang d'un endomorphisme c'est la dimension de son image. Pour un isomorphisme (dont la matrice dans une base est inversible) le rang est n.

Et donc là, comme j'ai des matrices, ce sont des matrices associées à un endomorphisme ? Je ne comprends pas comment je peux résoudre l'énoncé avec la dimension de l'image de l'endomorphisme...

Tu peux toujours dire qu'une matrice représente une application linéaire dans une certaine base. C'est ça qui est bien, dans certains cas, on voit mieux ce qui se passe sur les applications linéaires, dans d'autres sur les matrices. On a un certaine liberté, ça serait dommage de ne pas en profiter.

Ici par exemple, on regarde A et B comme les matrices de 2 applications linéaires dans la base canonique par exemple, disons respectivement f et g.

On te demande de prouver que rg(fog)=rg(gof)=rg(g) avec f un isomorphisme. Tu ne vois toujours pas?

Je comprends un peu mieux la relation entre les endomorphismes et les matrices maintenant, mais je n'arrive pas à la prouver.. Aah ( petit cri de désespoir de ne rien comprendre à ce chapitre... )

Tu prends E=k^n.

- Quelle est la dimension de f(E)? Quelle est donc la dimension de g(f(E))?
Dans l'autre sens:
- Quelle est la dimension de g(E)? Quelle est la dimension de f(g(E))?

c'est ça justement que je ne comprends pas en fait, la dimension des images. f est un isomorphisme, donc f est bijective, ça doit m'aider ? la dimension de f(E) est n ?

Ouaip.