Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Recherche Base Noyau
Bonjour, je dois résoudre une question d'un exercice en algèbre, j'essaye d'obtenir quelques automatismes.
On étudie la matrice , matrice de l'application f:R3-> R4 dans les bases canoniques.
La matrice représentant 4 vecteurs de R3, cette famille est forcément liée.
Le calcul du déterminant de la matrice formée des trois dernières colonnes donne -1. Cela permet de conclure que le rang de l'application f est de 3. Pourquoi?
Sinon j'ai tiré de cette matrice le système :
f(e1)=e1+e2+e3
f(e2)=e1+e2
f(e3)=e3
f(e4)=e1+2e2
Je dois déterminer une base du noyau de f :
J'ai vu que :
f(e1)- f(e2) - f(e3) = 0
Par linéarité : f(e1-e2-e3) = 0
Donc e1-e2-e3 appartient au noyau de f, donc
est une base du noyau car dim Ker f = 4 - 3 = 1
Est-ce bon car le corrigé donne comme base du noyau
, soit la base que j'ai trouvé mais multipliée d'un facteur -1.
Merci d'avance pour votre aide.
N'hésitez pas à me donner des conseils de méthodes, j'ai un examen blanc demain. 
Dcamd
Salut 
C'est un théorème : Le rang d'une matrice est l'ordre de la plus grande sous-matrice carrée inversible.
le rang maximal de ta matrice est 3, en plus elle contient une sous-matrice carrée d'ordre 3 inversible donc le rang est 3.
Oui ce que tu as fait est bon, le rang de ta matrice est 3 donc son noyau est une droite vectorielle. Tu as trouvé un vecteur du noyau, donc ce dernier est bien engendré par ce vecteur.
Salut Nightmare, merci pour ta réponse ! Je ne le connaissais pas ce théorème !
Et si la matrice n'est pas inversible, ça signifie que le rang est inférieur au nombre de vecteurs qui composent la matrice ?
Parce que j'ai une deuxième matrice qui a deux fois deux lignes identiques et qui représente une application linéaire de R3 dans R4
Donc le rang est inférieur ou égal à 3, et comme le déterminant est nul... ?
Si tu n'as aucune sous-matrice carrée d'ordre 3 inversible, alors effectivement ton rang est au maximum 2, etc...
Donc le rang va être égal à 1, comme la sous matrice à deux vecteurs colonnes a encore deux lignes identiques au moins. Et un vecteur colonne n'a pas de déterminant ? Donc si on aboutit sur un vecteur colonne, c'est forcément que le rang vaut 1, faute de pouvoir mettre 0... Je sens que je suis parti loin là... 
Ah, on peut prendre une sous-matrice ayant un nombre de ligne différent ?
det = 1*0 - (-1)* (-1) = -1 différent de 0, donc inversible.
Donc, comme composée de deux vecteurs colonnes (on ne considère pas les pivots grâce à ce théorème?), et comme le rang est inférieur ou égal à 3, on conclut : Ordre 2
c'est moi qui avait lu trop vite le théorème que tu m'as donné : Sous-matrice "carrée". Donc pas de problème, j'avais mal compris; Merci encore Nightmare !
On s'est croisés lol, donc ordre s'utilise uniquement pour les matrice carrés = nombre de ligne = nombre de colonnes. (J'ai compris )
Merci !
oui l'ordre est bien pour une matrice carrée le nombre de ligne (qui est donc égal au nombre de colonne évidemment)
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac