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Bonjour.

Dans un précédent topic, nous avons prouvé que dim(F) = (n-1)²

Si n = 3, alors, dim(F) = 4.

Il faut donc trouver 4 matrices d'ordre 3, indépendantes, dont la somme des termes de chaque ligne et de chaque colonne est nulle. O trouve facilement :

Merci beaucoup raymond
Je suis tout à fait d'accord avec cette base qui permet de décrire F et G.
Cependant, la première partie de la question invite à montrer qu'il existe une base, pour tout n, avec des matrices ayant 4 coefficients non nuls, or cela me semble perilleux pour n>3... comment procéder alors dans le cas général avant de déduire pour n=3?

question subsidiaire :
montrer que G est une sous-algèbre de Mn() :
1) je montre que l'identité de Mn()G
2) A,B G et , on a .A+.B G ce qui semble trivial
3)il faut montrer A,B G on a A.BG, cette fois ci cela semble moins trivial et je ne sais le démontrer.

Tout d'abord, est-ce que ma méthode est correcte pour montrer que c'est une sous-algèbre et si oui comment traiter ce 3ème point?

Merci d'avance de bien vouloir m'aider

I - Cas général


On applique la même méthode.

1°) on place 1 en a_1,1

2°) on place 1 en a_i,j avec 2 < i,j < n. Ceci donne bien (n-1)² choix.

3°) pour trouver 0, on place -1 en a_1,j et en a_i,1

Remarquons que si l'on désigne par (E_i,j) la base canonique de M_n(C), les (n-1)² matrices formant une base de F sont donc :

F_i,j = E_1,1 + E_i,j - E_1,j - E_i,1 avec 2 < i,j < n.


II - Etude de G

Chaque matrice M de G a pour somme des termes de ses lignes et de ses colonnes le même nombre. Appelons s(M) ce nombre.

Considérons alors l'application :

G C
M s(M)

Il est très simple de vérifier que s est linéaire : s(aM + bP) = as(M) + bs(P).
Donc, s est une forme linéaire sur G et F = Ker(s).

Comme s est non nulle, son noyau est un hyperplan de G. On en déduit ainsi que :

Dim(G) = (n-1)² + 1

On sait que l'on a aussi : G = C.AF, où A est un élément quelconque de G n'appartenant pas à F.
La matrice identité I_n est un bon candidat.

Tout ceci pour finalement décrire précisément tout élément de G :

M € G M = s(M).I_n + P, où P décrit F.

Donc, pour montrer que G est multiplicativement stable, il faut prouver que :

(a.I_n + P)(b.I_n + Q) est du type c.I_n + R, avec R dans F.

Pour prouver cette dernière assertion, j'ai effectué le produit F_i,jF_k,l et montré que ce produit reste dans F. Le calcul n'est pas très simple, il utilise la fameuse formule :

E_i,ji,jE_k,l = _j,kE_i,j.

Pour alléger le calcul, bien se souvenir que i, j, k, l sont > 1.

bonjour et encore merci Raymond
tout le développement est bien clair.

Seule chose : après avoir tenter le calcul final des
je tombe sur :



et je veux à priori tomber sur le plus sympatique :



comment faire alors avec ces coefficients et ces kronecker divers et variés pour retomber juste. Je suppose que mon calcul brut n'est surement pas la bonne approche..

Merci d'avance si quelqu'un peut me venir en aide

up s'il vous plait

Comme je te l'ai signalé, comme i, j, k, l sont > 1, de grosses simplifications se présentent :

tous les et les sont nuls.

Finalement, j'obtiens :

okok parfait
je viens de refaire mon calcul et je trouve la même chose.
Merci encore raymond

A plus.

RR.