Niveau Maths sup

Recherche de droite stable par f (déterminant)

Posté par
maths-rix 13-04-08 à 17:14

salut, je cherche à comprends ce qui suit :

$A=$\array{\\6&5&5\\5&6&5\\5&5&6}$$ et $f\in L($ $^3)/A=M_{[B]}(f)$

On pose

$P(\lambda) = \left|\begin{array}{ccc}6-\lambda & 5 & 5\\5 & 6-\lambda & 5\\5 & 5 & 6-\lambda\end{array}\right|$ $= \left|\begin{array}{ccc}16-\lambda & 5 & 5\\16-\lambda & 6-\lambda & 5\\16-\lambda & 5 & 6-\lambda\end{array}\right|$ (en faisant $c_1+c_2+c_3) \\$ $=(16-\lambda) \left|\begin{array}{ccc}1 & 5 & 5\\1 & 6-\lambda & 5\\1 & 5 & 6-\lambda\end{array}\right|$ $=(16-\lambda) \left|\begin{array}{ccc}1 & 5 & 5\\0 & 1-\lambda & 0\\0 & 0 & 1-\lambda\end{array}\right|$ (en faisant $L_2-L_1$ et $L_3-L_1)$ $=(16-\lambda)(1-\lambda)^2$

$P(\lambda) = 0$ $(16-\lambda)(1-\lambda)^2=0$ soit $\lambda \in [1,16]$

1er cas : $\lambda = 1$ :

on sait qu'il existe $x$ $0$ $(x\in Ker(f-Id_E))$ $(A-\lambda I_3)X = 0$ $(A-I_3)X = 0$ $\array{\\5&5&5\\5&5&5\\5&5&5}\) $\array{\\x_1\\x_2\\x_3}$ = $\array{\\0\\0\\0}$ $\Bigg($ en posant $X=\(\array{\\x_1\\x_2\\x_3}$$ $\Bigg)$

$x_1+x_2+x_3 = 0$ et on pose (je ne comprends pas le résultat qui suit)

$e'_1 = (1,-1,0) , f(e'_1) = e'_1$
$e'_2=(0,1,-1) , f(e'_2) = e'_2$

Merci

Posté par re : Recherche de droite stable par f (déterminant) 13-04-08 à 17:15

PS : on a alors $D_1 = vect(e'_1)$ et $D_2=vect(e'_2)$ stable par $f$

Posté par re : Recherche de droite stable par f (déterminant) 13-04-08 à 17:38

ah non c'est bon, je comprends le résultat; mais j'ai une question comme même :

est ce que c'est le fait que $f(e'_1) = e'_1$ et $f(e'_2) = e'_2$ qui fait que $D_1 = vect(e'_1)$ et $D_2=vect(e'_2)$ sont stables par $f$ ?

Posté par re : Recherche de droite stable par f (déterminant) 13-04-08 à 17:41

Bonjour
oui, et la linéarité de f.

Posté par re : Recherche de droite stable par f (déterminant) 13-04-08 à 17:43

ok merci.

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