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récurrence avec deux entiers (Chebyshev)
Bonjour à vous,
Je suis entrain de faire un exercice qui consiste à étudier les polynômes de Chebyshev.
On définit une suite de polynômes de cette manière :
T0 = 1
T1 = X
Tn+2 = 2XTn+1-Tn
On me demande d'abord de montrer le degré de Tn, son coeff dominant, sa parité, de montrer que Tn(1) = 1 ce que j'arrive à faire sans trop de problèmes grâces à des récurrences à pas double.
Maintenant il m'est demandé de montrer que
a) 2TnTm = Tn+m + Tn-m pour tout (n,m) m<= n
b) TnoTm = Tnm pour tout (n,m)
Comment procéder vu qu'il y'a deux variables ?
Je pense qu'il faut d'abord en fixer une (par exemple m) et poser comme propriété à montrer : "P(n) : Soit m<n, 2TnTm = Tn+m + Tn-m" et après faire pareil en fixant n ?
Mais en essayant cela je n'arrive à rien, enfin je ne vois pas comment démarrer ma récurrence...
merci de votre coup de pouce 
Bonjour Parano,
Il est plus simple de montrer d'abord par récurrence que pour tout t on a .
Le a) et le b) s'en déduisent sans difficultés.
le problème est que le prof veut qu'on fasse une récurrence directe (c'est précisé) et que ce que tu me proposes de démontrer fais l'objet d'une question suivante.
Merci cependant pour ta réponse !
On peut montrer directement a) mais c'est un peu plus compliqué.
Il faut faire une récurrence d'ordre 2 sur m.
Soit P(m): .
P(0) est triviale et P(1) est vérifiée par la définition de Tn.
Supposons vérifiées P(m-1) et P(m).
D'une part:
D'autre part: et
.
En ajoutant: par P(m-1) et P(m).
On a bien montré P(m+1).
Q(n): se montre par récurrence (d'ordre 2) sur n:
par définition de
puis par Q(n) et Q(n-1)
enfin par la propriété a).
merci beaucoup pour le temps pris.
J'ai refait la récurrence et j'ai compris. Mais j'ai quand même une question, suffit-il de porter la réccurrence sur l'entier m pour qu'elle soit juste sur l'entier n ? Ne faut il pas montrer P(n) et Q(m) ou est-ce complètement symétrique ?
Dans la définition de P(m) il y a: pour tout n
m.
Quand on a montré P(m) par récurrence, le résultat est vérifié pour tous les couples (m,n) tels que nm.
Dans la définition de Q(n) on doit écrire: pour tout m, .
Quand on a montré Q(n) par récurrence, le résultat est vérifié pour tous les couples (m,n)
Encore une petite question supplémentaire sur les polynômes de Chebyshev (mais de seconde espèce cette fois).
Il est demandé de montrer que Qn+2(cos(a)) = 2cos(a)Qn+1(cos(a)) - Qn(cos(a))
puis de montrer que (1-X²)Qn²+Tn² = 1
où Tn désigne les polynômes de Chebyshev de première espèce et Qn de seconde espèce.
Le premier résultat je ne le trouve pas (que ce soit par récurrence ou directement). Quant au deuxième, je pense qu'il faut obligatoirement passer par une récurrence, mais ça me donne des trucs horribles à développer...
Bonsoir Parano,
Tu n'a pas défini les polynômes de seconde espèce.
Soit on les définit par ,
et la même récurrence que pour ceux de première espèce, soit on les définit par
.
La propriété permet de montrer l'équivalence entre les deux définitions.
La relation entre Tn et Qn est vérifiée car le polynôme a une infinité de racines, les cos(t).
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