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Reduction
Bonjour tout le monde
J'aurais besoin d'un peu d'aide pour un exo qui a priori n'est pas trop difficile mais sur lequel je bloque...
Soit f€L(Mn(K)) définie par f(A)=A+Tr(A)In
Déterminer les éléments propres de f.
J'ai donc commencé par essayer de résoudre
f(A)=A+Tr(A)In = l*A (ou l=lambda les éventuelles valeurs propres... mais je n'aboutis à rien)
Que dois-je faire?
Merci d'avance pour vos réponses.
je ne comprends pas trop votre factorisation...
en redeveloppant celà donne:
A=
In - tr(A)In/2)
soit:
A+TrA*In/2=*In
d'où vient le sur 2? Qu'est devenu le A?
Salut 
Si l est valeur propre: (l-1)A=tr(A)*I_n.
On prend la trace des deux matrices: (l-1)*n*tr(A)=ntr(A) soit l-1= 1 soit tr(A)=0 et alors l=1.
Donc on a que deux valeurs possibles pour l: l=1 ou l=2.
Pour l=1 n'importe quelle matrice de trace nulle convient.
Pour l=2 faut A=tr(A)I_n et alors tr(A)=ntr(A) donc tr(A)=0 sauf que ça c'est pas possible.
Sauf erreur (très fréquentes ces temps-ci).
Merci beaucoup à vous pour votre aide rapide^^
Cependant j'aurais une dernière petite question...
Pourquoi lorsque l'on prend la trace des deux matrices.. dans la 1ere partie on a n*TrA?
Quand je disais que je faisais plein d'erreur en ce moment, c'était pas pour rien. 
Je reprends donc:
En prenant la trace: (l-1)tr(A)=n*tr(A). Donc ou tr(A)=0 (déjà traité ci dessus) soit l=n+1.
tr(A)=0 ==> l=1 cas déjà traité.
l=n+1 impose tr(A)I_n=nA. Donc A est une matrice homothétie et n'importe quelle matrice homothétie convient.
Donc f va être diagonalisable il me semble...
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