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réduction d'endomorphisme

Posté par
leflamenquiste 13-05-08 à 16:56

bonjour

On désigne E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K. De plus on a l'endomorphisme f de E et on notera  f son polynôme minimal.

Dans l'exo on travaille avec K= et on suppose f²+f+Id=0
On nous demande est ce que f est diagonalisable. Donc voila mon raisonnement
Si f est diagonalisable si et seulement si  f=(X-i)  avec i=1..N et i sont les valeurs propres de f.

On sait également que le polynôme minimal engendre l'idéal {P tel que P(f)=0}. De plus étant donné la supposition du départ f²+f+Id=0 c'est impossible de se retrouver avec un polynôme minimal scindé  car f²+f+Id est irréductible dans .
Donc f n'est pas diagonalisable
Ce serait pour savoir si mon raisonnement est juste et si oui est-il complet ou faut-il préciser certaines choses ??
merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : réduction d'endomorphisme 13-05-08 à 17:04

Bonjour

C'est correct.

Posté par
leflamenquistere : réduction d'endomorphisme 13-05-08 à 17:07

merci camelia

Posté par
leflamenquistere : réduction d'endomorphisme 15-05-08 à 11:10

bonjour à tous
c'est pour un petit exercice dont je ne suis pas du tout sur de mes réponses :
donc on a f un endomorphisme de E, on note f son polynôme minimal et f son polynôme caractéristique. Pour tout vecteur vE on note f,v le polynôme (normalisé) qui engendre l'idéal {PK[X]|P(f)(v)=0} où K est un corps.

donc on demande si f=(X-2)3(X-5) existe-t-il vE pour lequel la famille {v,f(v),f²(v)} est libre ??

j'ai répondu que oui car d'après Caley Hamilton on sait que f,v divise f or ce dernier est de degré 4 et f,v serait de degré 3 avec la condition que {v,f(v),f²(v)} soit libre donc il peut exister un vE de la sorte.
Est ce juste???

Après on nous dit si f=(X-2)²(X-5) alors f est inversible ??? là j'ai pas d'idée pour répondre mais j'ai un résultat que j'avais montrer dans des exercices avant qui dit que
P(f) inversible pgcd(P,f)=1 faut-il utiliser cela???

Ensuite pour le même polynôme minimal précédent on nous dit existe-t-il un vE pour lequel la famille {v,f(v),f²(v),f3(v)} est libre??
Ici j'ai répondu non toujours d'après Caley Hamilton on sait que f,v divise
f or le polynôme minimal est de degré 3 donc c'est impossible qu'il existe un
vE tel que {v,f(v),f²(v),f3(v)} soit libre car  f,v serait de degré 4.
Est ce juste ???

Merci d'avance pour vos indications ou vos confirmations

Posté par
jeansebre : réduction d'endomorphisme 15-05-08 à 11:26

bonjour

Pour la 2, c'est oui: f n'a que deux valeurs propres, 2 et 5, racines du polynome caractéristique. Si elle n'était pas inversible, ça voudrait dire qu'il existerait v non nul tel que f(v) = 0 , c'est a dire que 0 serait valeur propre, ce qui n'est pas le cas. Donc f est inversible.

Posté par
jeansebre : réduction d'endomorphisme 15-05-08 à 12:27

Pour la 1, c'est faux:

Si f est de matrice 3$\rm \(\array{2&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&5\), c'est à dire de polynome minimal(x-2)(x-5).

1ère démo:

3$\rm Soit un vecteur V \(\array{x\\y\\z\\t\) \\ \\ alors f(V) \(\array{2x\\2y\\2z\\5t\) et f^2(V) \(\array{4x\\4y\\4z\\25t\)

kV + k' f(V) + k" f²(V) = 0 est equivalent au système:

3$\rm \{\array{x(k+2k'+4k'')=0\\y(k+2k'+4k'')=0\\z(k+2k'+4k'')=0\\t(k+5k'+25k'')=0

Qu'on appelle (S)

Or, en considérant le système:

3$\rm \{\array{k+2k'+4k''=0\\k+5k'+25k''=0

On calcule k dans la 1ère equation, qu'on reporte dans la 2ème, ce qui donne:

3$\rm \{\array{k'=-7k''\\k=10k''

Donc en prenant k = 10 ;k' = -7 ; k'' = 1 , le système (S) est vérifié, sans que (x;y;z;t) soit égal à (0;0;0;0).

En clair, pour tout vecteur V, 10 V - 7 f(V) + f²(V) = 0

2ème démo:

Le polynome minimal est annulateur de l'endomorphisme f. Donc (f-2Id)(f-5Id) = 0

soit f²-7f+10Id = 0

Donc pour tout vecteur V, (f²-7f+10Id)(V) = f²(V)-7f(V) +10 V = 0

Les 3 vecteurs sont linéairement dépendants.

Sauf erreur.

Posté par
jeansebre : réduction d'endomorphisme 15-05-08 à 12:29

On peut remarquer que la 2ème démo est plus rapide que la 1ère...

Posté par
jeansebre : réduction d'endomorphisme 15-05-08 à 12:39

Pour la 3, reprends l'idée de la demo 2:

(X-2)²(X-5) est minimal donc annulateur de f

(f-2Id)²(f-5Id)= 0  et tu continues...

Posté par
leflamenquistere : réduction d'endomorphisme 15-05-08 à 12:49

merci beaucoup jeanseb pour toutes ces indications pour la 3 je vais reprendre ça cette aprem merci encore

Posté par
jeansebre : réduction d'endomorphisme 15-05-08 à 13:34

Posté par
leflamenquistere : réduction d'endomorphisme 18-05-08 à 18:13

bonjour à tous
je reviens un peu sur les réductions d'endomorphisme car j'ai un peu de mal avec la réduction de Jordan, voici l'exercice:
Soit f un endomorphisme de \mathbb{R}^4 dans \mathbb{R}^4 qui admet dans la base canonique la matrice

\(\array{-3&5&-1&-1\\-3&5&-1&0\\0&1&0&2\\1&-1&0&2}\)

Avec les premières questions que j'ai traité j'ai que \mu_f=\chi_f=(X-1)4
De plus j'ai la décomposition de Dunford f=n+d avec

n=\(\array{-4&5&-1&-1\\-3&4&-1&0\\0&1&-1&2\\1&-1&0&1}\)

et d=\(\array{1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1}\)

Ensuite on demande déterminer une base de \mathbb{R}^4 dans laquelle la matrice de l'endomorphisme f est

\(\array{1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1}\)

Il est clair que cette matrice est la matrice trouvée à l'aide de la réduction de Jordan. Donc dans ce cas présent étant donné l'égalité entre le polynôme minimal et le polynôme caractéristique et le fait que l'on est donc un seul sous espace caractéristique E1=Ker(f-Id)4, est ce que ça ne revient pas à chercher directement la base de E1 de la forme
\{v_1,f(v_1),f^2(v_1),f^3(v_1)}  avec \(v_1)\in{E_1}
(désolé pour les parenthèses sur le vecteur v1 je maîtrise pas encore le latex je viens de m'y mettre ) ???
Si oui comment la trouver ?? (ça doit être tout bête mais je vois pas )

merci d'avance pour votre aide

Posté par
leflamenquistere : réduction d'endomorphisme 18-05-08 à 18:37

je crois avoir trouver finalement comment trouver le vecteur v1:
est ce qu'il ne faut pas faire tout simplement:

\(v_1)\in{E_1}\Longleftrightarrow\(f-Id)^4(v_1)=0 puis on résoud le système à 4 équations et 4 inconnus ce qui nous donne notre vecteur puis on calcule \f(v_1),f^2(v_1),f^3(v_1).
Est ce cela ????

Posté par
leflamenquistere : réduction d'endomorphisme 18-05-08 à 18:41

euh en fait je crois mettre tromper car étant donné que le polynôme minimal est égale au polynôme caratéristique le degré de nilpotence ici est 4
J'ai pas d'idée alors

Posté par
perroquetre : réduction d'endomorphisme 18-05-08 à 18:54

Bonjour, leflamenquiste

Tu détermines v tel que   (f-Id)^3(v)\neq 0  . Ensuite   ((f-Id)^3(v),(f-Id)^2(v),(f-Id)v,v)   est la base que tu recherches.

Posté par
leflamenquistere : réduction d'endomorphisme 18-05-08 à 18:59

merci perroquet et donc ça revient bien à calculer la base de E1 non???

Posté par
perroquetre : réduction d'endomorphisme 18-05-08 à 19:02

Comme E_1=R^4, la base trouvée est une base de R^4. Il y a une infinité de bases dans E_1, et on ne peut pas choisir une base au hasard.

Posté par
leflamenquistere : réduction d'endomorphisme 18-05-08 à 19:04

ok merci pour l'indication

Posté par
leflamenquistere : réduction d'endomorphisme 19-05-08 à 11:15

bonjour je reviens sur un exercice de réduction d'endomorphisme ce serait cette fois ci juste pour avoir une correction ou un avis sur ce que j'ai fait :

Soit f l'endomorphisme de \mathbb{R}^4 dont la matrice dans la base canonique \(e_1,e_2,e_3,e_4) est


\(\array{1&0&0&0\\-1&4&1&-2\\2&1&2&-1\\1&2&1&0}\)
On admet que le polynôme caractéristique de f est \(X-1)(X-2)^3

1) Soit \v=e_1-e_3. Montrer que f,v est de degré 4. En déduire la valeur du polynôme minimal de f.
Bon ça c'est fait je vais éviter les calculs c'est assez long donc on trouve donc à l'aide de Caley-Hamilton que le polynôme minimal est égal au polynôme caractéristique.

2)Déterminer les dimensions des sous-espaces vectoriels \ker(f-Id), \ker(f-2Id),
\ker(f-2Id)^2 et \ker(f-2Id)^3.
Ici \ker(f-Id) et \ker(f-2Id)^3 sont des sous-espaces caractéristiques (d'après le polynôme caractéristique) donc leur dimension est donné par leur puissance, ainsi
dim(\ker(f-Id))=1 et dim(\ker(f-2Id)^3)=3

Pour les deux autres on sait également que:

\{0}\subset\ker(f-2Id)\subset\ker(f-2Id)^2\subset\ker(f-2Id)^3

les inclusions étant strictes et la dimension de \ker(f-2Id)^3 étant 3 forcément
dim(\ker(f-2Id))=1 et dim(\ker(f-2Id)^2)=2

3)Vérifier que \(e_2)\in\ker(f-2Id)^3 et \(e_2)\notin\ker(f-2Id)^3.
Pour la première vérification on sait que

\(e_2)\in\ker(f-2Id)^3\Longleftrightarrow\(f-2Id)^3(e_2)=0 ici moi je suis passé par le calcul de (f-2Id)3 qui est assez long avec une matrice de dimension 4 n'y aurait_il pas un moyen plus ingénieux et plus rapide pour résoudre cette question???

Pour la deuxième j'ai fais donc la même méthode avec

\(e_2)\notin\ker(f-2Id)^3\Longleftrightarrow\(f-2Id)^3(e_2)\neq0

Donc j'ai tout bien vérifier.

4) Déterminer une base de \mathbb{R}^4 dans laquelle la matrice de l'endomorphisme f est

\(\array{1&0&0&0\\0&2&1&0\\0&0&2&1\\0&0&0&2}\)

Donc je remarque que c'est la matrice trouver à l'aide de la réduction de Jordan avec

(1) le bloc de Jordan associé au sous espace caractéristique \ker(f-Id) et

\(\array{2&1&0\\0&2&1\\0&0&2}\) le bloc de Jordan associé au sous espace caractéristique \ker(f-2Id)^3

Ainsi la base rechercher sera la réunion des bases des deux sous espaces caractéristiques.
Est ce comment cela qu'il faut procéder ?? si oui d'après la question 3) on obtient déjà la base du sous espace caractéristique \ker(f-2Id)^3 qui sera donc
B=\{e_2,(f-2Id)(e_2),(f-2Id)^2(e_2)}

et pour la base de \ker(f-Id) on cherche donc un vecteur v tel que \(f-Id)(v)=0
et v0
Pour finir on réunie les deux bases qui nous donne ainsi la base rechercher.

Est ce juste ?? c'est surtout pour la dernière question j'ai un peu mal à saisir toute les ficelles de la réduction de Jordan
Merci d'avance  

Posté par
leflamenquistere : réduction d'endomorphisme 19-05-08 à 12:00

petite coquille pour la première question c'est v=e1-e3

Posté par
leflamenquistere : réduction d'endomorphisme 19-05-08 à 14:38

personne pour me corrigé j'aurais peut être du créer un nouveau topic c'est vrai que celui est déjà charger

Posté par
leflamenquistere : réduction d'endomorphisme 19-05-08 à 19:00

ça n'inspire vraiment personne???

Posté par
perroquetre : réduction d'endomorphisme 20-05-08 à 10:40

Bonjour, le flamenquiste

Ce que tu as fait est correct.
Il faut cependant changer l'ordre des vecteurs de ta base de 3 vecteurs, et prendre l'ordre suivant

\big((f-2Id)^2(e_2),(f-2Id)(e_2),e_2\big)

Posté par
leflamenquistere : réduction d'endomorphisme 20-05-08 à 11:03

Ah oui exact je viens de voir ça sur mon cours
Merci pour la confirmation de mon exercice perroquet


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