Bonjour a tous, j'ai un petit probleme concernant un exercice et je ne sais vraiment pas comment m'y prendre !!

Pourriez vous m'aider s'il vous plait ?

N.B : _f,v est le polynome normalisé qui engendre l'ideal {PK[X]/P(f)(v) = 0}.

Exercice:

         soit f un endomorphisme de ³ dont la matrice dans la base (e₁,e₂,e₃) est :

                      

a) Calculer _f,e1 ; _f,e2 ; _f,e3

fait. j'ai trouvé : _f,e1 = X² + X -2 = (X-1)(X+2)
                    _f,e2 = _f,e3 = x³ - 3X + 2 = (X-1)²(X+2).
   Donc _f = (X-1)²(X+2).
b)peut on trouver un vecteur v de ³ tel que : _f,v = (X-1)² ? _f,v = X-1 ? _f,v = X-2 ?

fait :
j'ai répondu, que vu que 1 est une racine double du polynom minimale alors il existe un v dans ³ tel que :_f,v = (X-1)² et _f,v = X-1 mais comme 2 n'est pas racine du polynome minimale alors il n'existe pas de v verifiant _f,v = X-2. (c'est juste ainsi) ??

Mais a partir de maintenat je ne sais plus quoi répondre :

2-a) si _f = (X-2)²(X-5) ; existe-t 'il un v dans  E pour que la famille {v,f(v),f²(v)} soit libre ?
  b) si _f = (X-2)²(X-5) alors f est elle inversible ? existe-t'il un v dans E tel que {v,f(v),f²(v),f³(v)} soit libre?
  c) si _f = (X-2)⁴(X-5) et _f = (X-2)³(X-5) donner la dimension de ker(f-2Id) ?

Merci de bien vouloir me répondre, j'ai un exam demain , et je ne pourrai avancer sans résoudre cet exercice :s
Cordialement.