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réduction d'endomorphismes à base de polynômes
bonjour à tous!
J'aurais besoin de quelques conseils pour mon DM de maths, dont voici un résumé de l'énoncé:
n est un entier naturel non nul.
On définit 
l'application qui à un polynôme P de 
n[X] associe le polynôme (P) défini par (P)=X(1-X)P'+nXP.
J'ai montré dans les questions précédentes que pour tout k de 
, (Xk)=(n-k)Xk+1+kXk, que est un endomorphisme et que les valeurs propres de sont 0,1,...,n.
On me demande de montrer que les vecteurs propres de sont des polynômes de d° n.
J'ai pensé à un raisonnement par l'absurde, mais je n'y arrive pas. Auriez vous une piste?
Merci d'avance,
Nalla
bonjour,
tu peux utiliser l'image de Xkpour trouver des relations entre les coefficients d'un polynome vecteur propre pour une valeur propre
de tête il me semble que l'on a pour k
n-1
(n-k)ak=(-1)ak+1
avec an-1=(-n)an
je ne sais pas si c'est une bonne methode je vais réfléchir
je pense que c'est cela
on a
.......................
...........................
siest nul...jusqu'à
et siest non nul tous les autres sont non nuls jusqu'à
donc un polynome P non nul tel que f(P)=kP est de degré n
avec
ak
R et kn
je te laisse vérifier et simplifier
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