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Réduction des endomorphismes

Posté par
bizbiz 19-06-08 à 02:04

Salut tout le monde,

Je bloque COMPLETEMENT sur l'exercice suivant (j'estime difficile ) :


Pour tout couple (A,B)\in \mathfrak{M}_n(\mathbb{C}), montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

i) \forall M\in \mathfrak{M}_n(\mathbb{C}), AM et AM+B ont le même polynôme caractéristique .

ii) B est nilpotente et BA=0


C'est un exo que j'ai rencontré aujourd'hui en preparant l'oral, mais malheureusement je n'ai ni solutions, ni indications entre mes mains, alors pouvez vous s'il vous plait m'aider à resoudre.
MERCI   

Posté par
Nightmarere : Réduction des endomorphismes 19-06-08 à 02:21

Salut

Je note 3$\rm \alpha, 3$\rm \beta et 3$\rm \mu les endomorphismes associés à A, B et M.

Voici une idée :

On montre qu'on peut écrire 3$\rm Mat_{F}(\beta)=\(0\;X\\0\;Y\) et 3$\rm Mat_{F}(\alpha o \mu)=\(X'\;Y'\\0\;0\) (matrices par blocs) où F est une base de Cn dont les rg(A)-premiers vecteurs forment une base de 3$\rm Im(\alpha)

Ainsi AM et AM+B sont semblables aux matrices par blocs 3$\rm \(X'\;Y'\\0\;0\) et 3$\rm \(X'\;Y'+Y\\0\;\;\;\;V\)

Ainsi 3$\rm \chi_{AM}=\chi_{X'}X^{n-rg(A)} et 3$\rm \chi(AM+B)=\chi_{X'}\chi_{Y}

Ainsi 3$\rm i)\Leftrightarrow \chi_{Y}=X^{n-rg(A)}

D'après Cayley-Hamilton, il faut et il suffit donc de prouver que Y est nilpotente.

Or :
3$\rm Mat_{F}(\beta^{k})=\(0\;XY^{k-1}\\0\;\;\;Y^{k-1}\)

La nilpotente de Y équivaut donc à la nilpotence de B.
CQFD

Posté par
Nightmarere : Réduction des endomorphismes 19-06-08 à 02:21

Au passage, la condition BA=0 intervient pour montrer la nullité de B sur les rg(A)-premiers vecteurs de F.


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