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Réduction et fonction

Posté par
gui_tou 14-12-08 à 15:25

Bonjour

J'ai besoin d'un petit coup de main pour cet exo

Citation :
Soient 3$E=\mathcal{C}^{\infty}([0,1],{\bb R}) et 3$T l'endomorphisme de 3$E qui à 3$f associe 3$T(f)\ :\ x\in[0,1]\to{4$\fr12\[{3$f}\(\fr{x}{2}\)+{3$ f}\(\fr{x+1}{2}\)\]

a.   Soient 3$f\in E,\,n\in{\bb N}^* et 3$x\in[0,1]. Calculer 3$T^{(n)}(f)(x).
b.   Soit 3$f\in E. Calculer 3$\lim_{n\to+\infty}\ T^{(n)}(f)(0).
c.   Soient 3$f\in E et 3$x\in[0,1]. Calculer 3$\lim_{n\to+\infty}\ T^{(n)}(f)(x).
d.   Montrer que 1 est valeur propre de 3$T et trouver le sous-espace propre associé.
e.   Est-ce que 3$k\in{\bb R}, avec 3$|k|>1 peut être valeur propre de 3$T ?
f.   Calculer 3$(T(f))'.
g.   Déterminer le sous-espace propre associé à la valeur propre $4\fr12


a.  Par une récurrence immédiate, 3$\fbox{\forall n\in{\bb N}^*,\ \forall x\in[0,1],\;T^{(n)}(f)(x)={4$\fr{1}{2^{n+1}}}\[f^{(n)}\({4$\fr{x}{2}}\)+f^{(n)}\({4$\fr{x+1}{2}}\)\]

b.  Avec, pour tout entier 3$n non-nul, 3$T^{(n)}(f)(0)={4$\fr{1}{2^{n+1}}}\[f^{(n)}(0)+f^{(n)}(\fr12)\] , il vient facilement 3$\fbox{\lim_{n\to+\infty}\ T^{(n)}(f)(0)=0

c.  Même chose, 3$\fbox{\forall x\in[0,1],\;\lim_{n\to+\infty}\ T^{(n)}(f)(x)=0_E (parce que f(n) est bornée sur [0,1] pour tout n)

d.  Il suffit d'exhiber une fonction 3$f de 3$E non-nulle telle que 3$\forall x\in[0,1],\;T(f)(x)=f(x), par exemple la fonction constante égale à 1 convient.

Donc 3$\rm\fbox{1 est valeur propre de T

L'espace propre associé à la valeur propre 1 est l'ensemble des fonctions 3$f de 3$E vérifiant 3$\fbox{\blue\forall x\in[0,1],\;2f(x)={3$f}\(\fr{x}{2}\)+{3$ f}\(\fr{x+1}{2}\)

C'est une zolie équation fonctionnelle, je n'ai pas encore trop réfléchi à sa résolution mais j'aurais envie de dire que ses solutions sont les fonctions constantes sur [0,1].

Du coup, 3$\fbox{\rm{Ker}(T-id_E)=\rm{Vect}\{f\} où f est la fonction égale à 1 sur [0,1]

e.  Supposons 3$|k|>1 valeur propre de T. Alors il existe une fonction non nulle de E vérifiant :
3$\fbox{\blue\forall x\in[0,1],\;2kf(x)={3$f}\(\fr{x}{2}\)+{3$ f}\(\fr{x+1}{2}\)  Là c'est le drame, je n'arrive pas à montrer que cette équation n'a pas de solution, à part la fonction nulle.

f.  Sauf erreur, 3$\fbox{(T(f))'\, :\ x\in[0,1]\to{4$\fr14\[{3$f'}\(\fr{x}{2}\)+{3$ f'}\(\fr{x+1}{2}\)\] (c'est louche, c'est la même chose que a et b ..)

g.  Ce sous-espace est l'ensemble des fonctions de E qui vérifient 3$\fbox{\blue\forall x\in[0,1],\;f(x)={3$f}\(\fr{x}{2}\)+{3$ f}\(\fr{x+1}{2}\)

Je ne crois pas savoir résoudre ce bidule


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Ce serait sympa si vous pouviez m'aider à résoudre les équations fonctionnelles, et à vérifier si je n'ai pas dit trop de bêtises !

Merci

Posté par
1 Schumi 1re : Réduction et fonction 14-12-08 à 15:34

Salut

Je ne trouve pas du tout la même chose que toi à la 1). Perso, je trouve une somme de Riemann ce qui me convient assez, à savoir:
\frac{1}{2^n}\Bigsum_{i=0}^{2^n-1}f(\frac{x+i}{2^n})

A vérifier, mais je pense avoir bon.

Posté par
1 Schumi 1re : Réduction et fonction 14-12-08 à 15:37

Euh non, enfin, c'est une somme de Riemann pour x=0. J'étais déjà à la 2) moi.


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