Bonjour skops.

Le polynôme caractéristique est du degré de l'espace d'étude : n, ses racines sont les valeurs propres de A : 0 et, si l'on utilise la formule P(X) = det(A-XI), sont coefficient dominant est (-1)ⁿ.

Salut

Parce qu'on est sur C donc le polynôme caractéristique est scindé de degré n, et que ses racines sont les valeurs propres de A qui ne peuvent être que 0.

Bonjour 1 Schumi 1.

Ici, toutes les racines sont dans le corps de base.

D'accord
Autrement, quand j'ai montré que les valeurs propres étaient 0, ca va ou il manque un petit truc ?

Skops

raymond >> Je ne suis pas sûr de comprendre le sens de ta remarque...

Skops >> Il me semble qu'il ne manque rien.

Je veux dire qu'un endomorphisme nilpotent a toutes ses racines dans le corps de base, peu importe que l'on travaille dans C ou dans tout corps K.

A posteriori oui, c'est évident, mais comment le justifierais-tu sans les valeurs propres?

Tu as raison, ce n'est valable que parce que l'endomorphisme est nilpotent.

Soit u un endomorpisme de Kⁿ, nilpotent d'ordre p > 0.

On montre facilement que p < n.

Comme u^p-1 est non nul, X^p est le polynôme minimal de u.

On en déduit que Sp(u) = {0} et que le polynôme caractéristique est Xⁿ ou (-1)ⁿXⁿ selon la définition.

En effet, ça marche bien comme ça aussi.