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réductions des matrices carrés et application
salut tout le monde
aidez moi svp a resoudre cette exrcices
soit K un corps algébriquement clos, et E UN K-espace vectoriel de dimention finie n. un endomorphisme f de E un endomorphisme de E est dit nilpotent , s'il existe un entier m tel que f^m=0.
1)-montrer que f différent de 0 et nilpotent n'est jamais diagonalisable.
2)-montrer que si toutes les valeurs propres d'un endomorphisme f sont nulles, f est nilpotent.
Si est valeur propre, il existe v NON NUL tel que
. Mais alors,
, donc
.
S'il était diagonalisable il aurait que des 0 partout et ce serait l'application nulle.
merci chére camélia et pour la 2 eme question .on a si toute les valeurs propres de f sont nul et on a f(x)=
x ce qui implique que f(x)=0 et pour tout entier de N f(x)[sup][/sup]m=0 ce qui iplique que f est nilpotent . est ce que c'est vrai ????????
Pas tout à fait... Cette fois il vaut mieux passer par les matrices. Comme on te dit que le corps est algébriquement clos, tu sais que f est triangulable avec les valeurs propres sur la diagonale. Ici, que des 0. Regarde les puissances successives d'une telle matrice!
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