Bonjour,
1. Je suis d'accord avec ta démonstration, mais pas avec la conclusion.
Ce que tu démontre c'est que R est la relation d'égalité, qui est bien une relation d'ordre (pas très intéressante il est vrai)

3. Je suis d'accord avec ta conclusion, mais pas avec la démonstration.
Il est sans doute plus simple de donner un exemple de relation circulaire et transitive mis non réflexive.
La relation vide convient.

4. On ne demande pas si une relation circulaire est forcément antisymétrique (ce qui est faux), mais si il existe des relations circulaires et antisymétrique. On a un exemple en 1.

5. La relation vide est une relation d'ordre strict et elle est circulaire.

Ps
La relation vide est définie par xRy est faux quelques soient x et y dans E. Elle est circulaire, transitive, symétrique et antisymétrique car <<faux implique "n'importe quoi">> est toujours vrai.
Bien sur elle est irréflexive.

Bonjour Verdurin

merci pr tes réponses ; j'apoorte dc qqs corrections aux miennes et j'aurais besoin stp de qqs précisions.

1 : on va montrer qu'une relation d'ordre peut - ss certaines conditions - être circulaire :
Soit R une relation d'ordre t.q. :
[(aRb) et (bRa)] (1)

(1) a = b du fait de l'antisymétrie de R
(1) a R a du fait de la transitivité de R, et du conséquent de  cette implication, on voit qu'on est en présence d'une relation circulaire. Ce conséquent met aussi en évidence que R est réflexive sur a, ce qui est compatible avec le fait que R  est une relation d'ordre.

2 : il semble que la démonstration convienne

4 : on a vu en 1 qu'une relation d'ordre pouvait - ss certaines conditions - être circulaire ; or une relation d'ordre est par définition (ou par "structure") antisymétrique.
Conclusion : une relation circulaire, lorsqu'elle est aussi une relation d'ordre, est antisymétrique.

3 et 5 me posent pb. (j'ai du mal avec le vide que tu prends comme exemple)

3 : tu m'as dit que tu étais d'accord avec ma 1ère conclusion, et maintenant c'est moi qui ne suis plus d'accord avec.
Je dirais (mais dis-moi stp où je me trompe) que pr qu'une relation R soit simultanémentcirculaire et transitive (parce que c'est bien le début de l'énoncé), il faut (nécessairement ?) que l'on ait :
[(aRb) et (bRa)] (aRa), qui pour moi serait la seule forme propositionnelle vérifiant simultanément la circularité et la transitivité. et le conséquent de cette ilmplication entraîne nécessairement la réflexivité :?

5 : est-ce que tu peux détailler stp? Pr la transitivité c'est d'accord, mais pr l'antisymétrie de la relation vide, si je te suis bien, on pose :
xRy est faux et yRx est faux, soit dit littéralement, on a pas xRy, on a pas yRx ?
Est-ce que pr autant on peut en déduire, (est ce que cela implique, pr rester "collé" à la définition de l'antisymétrie) que x = y ? Si c'est ça, j'ai du mal à le comprendre.

Pour la question 3 :
Ton implication est juste : si R est simultanément circulaire et transitive  on a bien [(aRb) et (bRa)]  (aRa)
Mais il est possible que [(aRb) et (bRa)] soit faux quelques soient a et b dans E. Dans ce cas aRa peutdans E être faux pour tout a dans E alors que l'implication est vraie.
La suite un peu plus tard.

Quelques pb dans ma réponse précédente.
je la corrige :
Pour la question 3 :
Ton implication est juste : si R est simultanément circulaire et transitive  on a bien [(aRb) et (bRa)]  (aRa)
Mais il est possible que [(aRb) et (bRa)] soit faux quelques soient a et b dans E. Dans ce cas aRa peut être faux pour tout a dans E alors que l'implication est vraie.


pour la question 5 (et la 3):
Il faut comprendre le sens du symbole ""
par exemple trois implication vraies :
(1=0)(tout nombre pair est premier)
(1=0)(2 est premier)
(1=1)(2 est premier)
De façon générale quand la proposition A est fausse,la proposition AB est vraie quelque soit la proposition B.
Pour la relation vide on a xRy faux quelque soit x et y dans E, donc (xRy et yRx) est une proposition fausse : elle implique bien (x=y), elle implique aussi (xy) d'ailleurs.

C'est dans ce sens que l'on peut dire qu'une relation d'ordre strict est antisymétrique :
par exemple dans (x>y et x<y)(x=y) car (x>y et x<y) est faux.

Merci Verdurin

Sur les valeurs de vérité d'une implication selon les valeurs de vérité de l'antécédent et du conséquent, ça pas de pb, je l'ai bien "intégré" sur la base d"exemples similaires à ceux que tu as mis ds ton message

Il faut juste que je réfléchisse au cas de la relation vide - pas encore évident pr moi en ce qui concerne l'antisymétrie - et à une réponse  à la Q5 de relation d'ordre strict circulaire que je comprenne ; je vais faire des "tests" sur des relations d'ordre strict que je connais ( < pr commencer)

Si vraiment je comprends pas ou n'y arrive pas, je me permettrai de revenir sur le topic

merci pr ton aide

à bientôt