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Relation d'équivlaence
Bonsoir tout le monde !
Pouvez-vous m'aider ? Je bloque sur un exercice sur les relations.
Voici ce que je dois faire :
Petit rappel sur les angles
Sur l'ensemble des nombres réels, on a la relation α R β si sin(2α ) = sin(2β )
1) sin(2x) = ?
2) Cette relation est-elle symétrique ? Démontrer à l'aide du cours (paragraphe 3).
3) Cette relation est-elle transitive ? Démontrer à l'aide du cours (paragraphe 4).
4) Que signifie "relation d'équivalence" ? R est-elle une relation d'équivalence ?
5) Calculer [pi/3]R et [pi/5]R
6) Déterminer toutes les classes d'équivalences de R.
Voila ce que j'ai répondu :
1) sin(2x) = 2 x cos(x) x sin(x)
2) Oui, car si sin(2α ) = sin(2β ) alors sin(2β ) = sin(2α )
3) Oui, car si sin(2α ) = sin(2β ) et sin(2β ) = sin(2#) alors sin(2α ) = sin(2#)
4) Une relation d'équivalence est à la fois symétrique, transitive et réflexive.
R en est une car elle est réflexive. sin(2β ) = sin(2β )
Je bloque par contre sur la 5 et la 6.
Pour la 5, on cherche tous les y tels que "pi/3 R y"
Ce qui donne (sin(2pi/3) = sin(2y))
Or on a une infinité de solutions.
Car sin(2pi/3) = sin(7pi/3) = sin(8pi/3) = sin(13pi/3) = sin(14pi/3) = .......
Comment transformer toutes ces solutions en classe d'équivalence ?
Et je sèche complétement sur la 6...
Je remercie par avance celui ou celle qui voudra bien me donner quelques pistes.
Je vous souhaite une très bonne soirée !
Tartalacreme - L'entarteur fou !
J'ai fait une faute dans le titre : il fallait lire "équivalence"
Je remonte mon problème, merci d'avance ! 
Bonsoir
si tu notes avec le même symbole la lettre x et le signe de multiplication, on ne va pas s'en sortir ....
pour la réflexivité, transitivité et symétrie, il manque les quantificateurs
pour l'équation, tu as vu sans doute que sin(A) = sin(B) <==> A = B + 2kpi ou A = pi - B + 2kpi
tu as donc 2y = 2 pi/3 + 2kpi ou 2y = pi - 2 pi/3 + 2kpi, ce qui donne y = pi/3 + kpi ou y = pi/2 - pi/3 + kpi = pi/6 + kpi
ta classe d'équivalence est l'ensemble {pi/3 + kpi, k entier relatif}
{pi/6 + kpi, k entier relatif}
Bonsoir lafol et merci de ta réponse.
J'aurais juste deux derni_res questions :
1) On a bien sin(2*pi/3) = sin(8*pi/3)
Pourtant, je n'arrive pas à trouver sin(8pi/3) avec la classe d'équivalence.
Je n'arrive pas à trouver k tel que
> pi/3 + k*pi = 8pi/3
ou pi/6 + k*pi = 8pi/3
2) Est ce que cette formule s'applique également au cosinus ?
sin(A) = sin(B) <==> A = B + 2kpi ou A = pi - B + 2kpi
J'en aurai peut-être besoin pour mon contrôle lundi.
Merci encore !
pi/3 + k*pi = 4pi/3 avec k = 1 ou 2pi/3 + 2k pi = 8 pi/3 avec k =1
cos(A) = cos(B) <==> A = B + 2kpi ou A = - B + 2k pi
Merci merci merci !
Pour la 6. je pense avoir trouvé.
Pour tous x,y € R, on a sin(2x) = sin(2y)
<=> 2x = 2y + 2k*pi ou 2x = pi - 2y + 2k*pi
<=> x = y + k*pi ou x = (pi/2)-y + k*pi = (pi - 2y)/2 + k*pi
Par conséquent, la classe d'équivalence de cette relation est :
{y + k*pi (k entier relatif) ; (pi - 2y)/2 + k*pi (k entier relatif) }
Sphinx euh lotte !
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