Bonsoir,

attention, ici on a munit N de la relation d'ordre de divisibilité, lorsque tu parles "d'un plus petit élément plus grand qu'un plus grand élément" tu parles de la relation d'ordre que tu as l'habitude d'utiliser, et ça n'a pas de rapport ici !

min(N)=1 pourquoi?

On cherche un entier qui divise tous les autres : c'est clairement 1. Et pour la division, c'est bien le plus petit non? (Trouve un entier différent de 1 qui divise 1 )

essaye de voir pourquoi max(N)=0

Pourquoi fait il que l'entier en question divise tous les autres?

Quel est la définition d'un minimum pour toi?

Si l'on prend a un minimum de A, alors a€A et pour tout x€A, on a a≤x.
C'est bien ça?

Oui, sauf qu'ici la relation est la divisibilité.

Ainsi a est le minimum de N si a est dans N et si pour tout entier naturel n, a|n.

Ah donc c'est par définition qu'il faut que pour tout entier naturel n, a|n.

Ben oui !

Mais ce qui me parais bizarre, c'est que N (donc N en entier) est muni de la relation de divisibilité. Alors comment se fait-il que l'on ait pas 2|3, par exemple.
(Je me doute que ma remarque peut paraitre absurde)

Pourquoi aurait-on 2|3 ? C'est connu depuis la primaire que 2 ne divise pas 3.

Il me semble aussi.
Mais ce que je ne saisi pas bien, c'est ce que signifie munir N de la relation d'ordre de divisibilité.

Cela signifie simplement que l'on va travailler sur N, mais on va comparer les éléments avec la relation de divisibilité.

Ah d'accord, donc si on travaille sur E=N/{1}, alors Min(E) n'existe pas car seul 1 divise tous les autres entiers. C'est bien ça?

Oui

Et donc on ne peut pas munir l'ensemble R\Z de la relation de divisibilité.

Bah, d'après toi?

D'après moi on ne peut pas.

Non, en tout cas pas la même que sur Z, ça n'aurait aucun sens.

Mais comment se peut-il que Max(N)=0, alors que 0 ne divise rien.

Quelle est la définition du max?

(qui plus est c'est faux, 0 divise 0 )

Ah oui, on a : a est le maximum de N si a est dans N et si pour tout entier naturel n, n|a.
Et comme 0 est le seul entier naturel tel que pour tout n, n|0, alors on a bien Max(N)=0.
J'espère que c'est ça.

Oui.

Question, tu as dit que N\{1} n'avait pas de minimum. A-t-il des éléments minimaux?

Qu'entendez-vous par éléments minimaux?

N'as-tu pas vu en cours les définitions d'éléments minimaux et maximaux?

Non pas encore.

Oublie la question alors

J'ai encore une question,
J'ai du mal a comprendre la notion de prolongement d'une application f à un ensemble G contenant un ensemble E.
Car d'après la définition, c'est une application g:G dans F(par exemple) telle que pour tout x€E, g(x)=f(x).
Mais qu'en est-il pour les x€G\E, la correspondance pour ces x n'est pas définies, non?

Eh bien justement, on la prolonge ! On donne des valeurs aux x qui sont dans G mais pas dans E, on peut leur donner n'importe quelles valeurs.

Maintenant, il y a des prolongements plus intéressants, comme des prolongements continus, prolongements dérivables, etc.

J'ai enfin compris.
Merci pour votre patience.

Avec plaisir, je sais que ce ne sont pas des notions faciles à appréhender.