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relation d'ordre avec multiplication.. (construction de N)
Bonsoir à tous,
Je prépare cette année le capes, et je suis en train de préparer la leçon (pas très agréable) sur l'aximatique de N et la construction de Z
Je cherche désespérement à montrer que si c
0 ac
bc => ab. (avec a,b,c
)
J'ai tenté de le faire par récurrence.
Pour l'initialisation, je n'ai pas de problème, par contre après ça bloque.
Sachant que j'ai définit N par l'axiomatique ordinale, ma multiplication est définie par récurrence : n0=0 et a.b'=a.b + a où b' désigne le successeur de b..
Par contre j'ai su montrer le cas de l'égalité cad :si c0 ac=bc => a=b. (avec a,b,c)
Voilà, j'espère que vous pourrez m'aider..
bonjour....
c différent de 0
a b
on peut prendre comme récurrence le degré de succession....
en gros (a successeur de successeur de ... de b)
1. initialisation:
a= b forcement ac=bc.
2. hérédité
si les successeurs i de b strictement inférieurs ou égaux à k vérifient i c b.c
alors k' c = kc + c bc
merci beaucoup pour cette réponse mais dans ce sens là j'avais su le montrer.. par contre je n'arrive pas à montrer que acbc => ab si c0
la contraposée....
si bc < ac on a nécessairement b < a....
c'est une conséquence de ce qui vient d'être montré....
il reste le cas où bc = ac à étudier.
Par contre par rapport au c0 ce n'est pas gênant ??
Est-ce que c'est juste si je dis pour tout c E N on a ab =>acbc
Donc c'est en particulier vrai pour tout c0
Donc si c0 on a ab =>acbc
La contraposée nous donne :
si c0, ac<bc=>a<b
C'est correct ??
ac 
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