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relations ds un ensemble
Bonsoir
On donne l'ensemble E = {1;3;5;7;9} et les 6 graphes suivants de relations ds E
G1 = {(1;1)}
G2 = {(1;3);(3;1);(5;9)}
G3 = {(1;3);(3;5);(5;7);(7;9);(9;1)}
G4 = {(1;5);(5;9);(9;5);(5;1)}
G5 = {(1;3);(3;3);(1;5);(5;5)}
G6 = E²
Parmi ces graphes, quels sont ceux qui définissent des relations symétriques ou antisymétriques ?
En voulant traiter le cas de G1, je me pose la question suivante ; une relation peut-elle être simutanément symétrique et antisymétrique ?
Ds un ensemble F = {a1;a2;....;ai;.....;an}, sil le graphe de la relation R est tel que :
i 
I, aiRai, R est réflexive bien s^r, mais elle vérifie aussi :
1/ ai F, ai R ai 
ai R ai, dc R serait symétrique
2/ ai F,(( ai R ai)
(ai R ai)) ( ai = ai) dc R serait antisymétrique
Dc peut-on dire qu'une relation qui ne serait a priori que réflexive ,serait nécessairement aussi symétrique et antisymétrique ?
Sinon,mes réponses à l'exercice sont :
G1 : symétrique et antisymétrique donc, rapport à ce que je viens d'explquer
G4 : symétrique
G6 : symétrique
Merci pr votre aide et vos comentaires
Salut !
Une relation peut être symétrique et antisymétrique oui, mais c'est que c'est forcément l'identité !
Ok pour le reste
Merci bcp Nightmare
dc G1 est bien le graphe d'une relation qui est l'dentité (et de surcroît rien que ça)
Concluerais-tu alors comme moi que toute relation qui est réflexive est de facto antisymétrique ?
Ok pour le reste
, donc c'est pas encore ce genre d'exercice qui me fera faire de cauchemards
Une relation symétrique ou anti-symétrique vérifie :
SI x et y sont en relation alors y et x aussi par symétrie et donc x = y par anti-symétrie .
MAIS ce n'est pas l'identité !
Bonjour Lolo
Une relation symétrique ou anti-symétrique vérifie :
SI x et y sont en relation alors y et x aussi par symétrie et donc x = y par anti-symétrie
Je voudrais pas être lourd avec ma question, mais est-ce que c'est pertinent ou idiot de dire, en reprenant ton exemple, si on remplace y par x, on est en presence d'une relation réflexive, qui vérifie alors les propriétés de symétrie et d'anti-symétrie ?
D'ailleurs en poussant le raisonnement encore + loin, même si c'est pas demandé ds l'esercice, en espérant qu'il ne soit pas trop absurde, elle est/serait aussi transitive.
Ca m'intéresse de savoir ce que vs en pensez
Justement non il y a une subtilité tout est dans le SI peut être que pour certains x de E il n'y a AUCUN y en relation avec x .
Donc ce n'est ni l'identité, ni réflexive, ni trnasitive.
Ok merci pr ta réponse ; je suis bien d'accord que les propositions qui traduisent les caractéristiques d'une rélation d'ordre ou d'équivalence s'écrivent avec le quantificateur existentiel , et dc qu'elle doit être valable pr ts les éléments de l'ensemble pr lesquels le relation est vérifiée.
En fait ma question est partie du cas de G1 (Cf énoncé de l'exercice)
Il et clair que la relation n'est pas réflexive puisque seul 1 R 1 est vérifié, mais supposons que E soit restreint à {1} ; ds ce sous-ensemble R serait réflexive, et c'est là que je me pose la question, peut-on dire sans abus que de facto r est aussi symétrique et aussi antisymétrique et même transitive, tu vois.
Dis-moi ce que t'en penses stp et après promis je te fous la paix avec ça
Bonjour à tous
En fait ma question est partie du cas de G1 (Cf énoncé de l'exercice)
Il et clair que la relation n'est pas réflexive puisque seul 1 R 1 est vérifié, mais supposons que E soit restreint à {1} ; ds ce sous-ensemble R serait réflexive, et c'est là que je me pose la question, peut-on dire sans abus que de facto r est aussi symétrique et aussi antisymétrique et même transitive,
Quelqu'un pourrait-il me dire ce qu'il en pense svp ? C'est aps primordiale pr la résolution de l'exercice (que je conbsidère comme terminé) mais cc'est de la curiosité mathématique.
Merci à ceux/celles qui interviendront
Bonjour
Sur un ensemble à un seul élément {a}, il y a deux possibilités! ou le graphe est vide est la relation n'est rien du tout, ou G={(a,a)} et alors elle est tout ce que l'on veut!
Si le graphe est vide alors sur un ensemble non vide :
la relation n'est pas réflexive car on a pas xRx
MAIS la relation est symétrique car xRy entraîne bien yRx
ET la relation est transitive ET anti-symétrique .
Je commence à piger pourquoi mes premières années ont du mal avec ça !
j'ai été un peu vite!Bonjour Camélia , bonjour Lolo
D'abord grand merci à toutes les 2 pr ces réponses ; la première répond définitivement à la question qui m'avait incité à insister
>>Camélia :
G={(a,a)} et alors elle est tout ce que l'on veut!
Dc là c'est le cas de G1 (Cf énoncé de départ) et sauf erreur ma supposition de dimanche 10 h 03 est correcte
>> Lolo + Camélia :
Si le graphe est vide alors sur un ensemble non vide :
la relation n'est pas réflexive car on a pas xRx
MAIS la relation est symétrique car xRy entraîne bien yRx
ET la relation est transitive ET anti-symétrique .
Là j'ai du mal ; je réfléchis un peu mais je ne vois pas ; si le graphe de la relation est vide, comment peut-on avoir x R y ? vs avez vraisemblablement raison mais il y a une (grosse) subtilité qui m'échappe ; si vs pouviez m'en dire un peu plus sur ce sujet, je vs en remercie par avance
Pour me faire pardonner... Graphe vide!
La proposition est VRAIE car les deux côtés de l'équivalence sont toujours faux!
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