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représentation de Riesz
Bonjour à tous, j'ai besoin de votre aide.
1) Soit E=
n[X] (espaces des polynômes complexes de degrés 
n )
Montrer que 
P 
E, 
! Q E tel que
2)Ceci reste-t-il vrai si E=C[X] ?
Pour le 1, ce que j'ai envi de dire (je ne sais pas si ça a un sens ou pas), c'est que pour x
[0,1] (produit scalaire dans qui existe car on intègre un polynôme sur un compact), et ensuite, je prends
(P)(x)=P(x).
Là, je dis que est linéaire continue , donc d'après Riesz, ! Q E, (P)=
Donc x[0,1] (P)(x)=
pour x=1 
P(1)=
Pour le 2, je ne sais pas comment m'y prendre...
Bonjour,
1- Théorème de Ries, tu es dans un Hilbert et tu cherches à représenter une forme linéaire continue. Grosso modo c'est ce que tu racontes.
2- On n'est plus dans un espace de Hilbert, on a envie de dire que c'est faux...
Si on prend
P=1
P=X
P=X^2
etc
P=X^n
et n très grand
on trouve quoi sur Q ?
Qu'as tu essayé ?
On suppose qu'il existe un polynôme Q tel que P(1)=<P,Q> et degQ=n.
Alors
1=<1,Q>
1=<X,Q>
1=<X^2,Q>
etc
et tu trouves un système de n+2 équations linéaires avec n+1 inconnues...
ça me dépasse ce genre d'exo, j'ai:
Q1(1)-Q1(0)=1 où Q1 est la primitive de , Q2 celle de Q1 et ainsi de suite
Q1(1)-Q2(1)+Q2(0)=1
Q2(1)-Q3(1)+Q3(0)=(Q1(1)-1)/2
Q3(1)-Q4(1)+Q4(0)=Q2(1)/2-(Q1(1)-1)/6
Q4(1)-Q5(1)+Q5(0)=-(Q1(1)-1)/12+Q3(1)/2+Q2(1)/6
...
Qn(1)-Qn+1(1)+Qn+1(0)=-(Q1(1)-1)/n!+Qi(1)/(n+1-i)!
Je ne vois pas ce qu'il faut dire de plus...
T'as pas pensé à écrire Q(x)=a_nx^n+...+a1x+a0 et à intégrer pour obtenir le système linéaire dont je te parlais ?
c'est bon, l'exercice a été corrigé, et c'était bien plus simple que ça (même si ça reste astucieux).
On dit d'abord que Q est de degrés n.
Ensuite, on prend de tel sorte que P(1)=0 , et avec ceci, on montre que Q=0 sur [0,1]
Enfin, on prend P(x)=1, et on aboutit à une contradiction.
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