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résidus quadratique
bonjour,
on définit l'homomorphisme multiplicatif q tq:
on voit que si l'équation
comment à partir de là dénombrer le nombre de résidu quadratique (j'ai vu dans d'autres démos qu'il y en avait
merci
Bonjour
Il s'agit d'un morphisme de groupe multiplicatif. Son noyau a deux éléments et on sait que
Plus naïvement, le cardinal de l'espace de départ est la somme des cardinaus des images réciproques des éléments de l'image...
ok je vois, merci.
je reviendrais surement d'ici une semaine (vacances ...) sur des points plus précis.
merci
re,
card((\mathbb{Z}/_{p\mathbb{Z}})*)=p-1 ok
card(ker h)=2 ok
card Im(h)= "nombre de résidus" ok
cependant j'arrive pas à voir intuitivement cette égalité ... en gros elle sort d'où ? juste pour savoir les grandes idées de la démo ...
merci
Bonsoir,
Benle fait que 2 nombres différents donnent le meme residu, implique qu'il ne peut pas y avoir plus de la moitié des nombres qui soient un residu, c'est combinatoire. Apres le fait qu'il y en au au moins la moitié, ben c'est parce que si tu prends chaque couple associé a un residu ben en l'elevant au carré ca te donne bien un résidu. Bon ce que j'ai dit est presque correct (c'est correct dans F_p^*) il faut juste faire gaffe avec 0 qui est un residu mais qui n'a qu'une seule "racine" lui meme.
oué cette méthode éclaircis bien le propos merci bien.
sinon pour revenir à la sol. de Camélia:
""""le cardinal de l'espace de départ est la somme des cardinaux des images réciproques des éléments de l'image""""
pourquoi somme t-on card(Imh) fois le cardinal du noyau ?
Mon énoncé est plus général que le cas des homomorphismes, mais il est évident! Si est une fonction entre ensembles, on a évidemment
et les images réciproques des éléments de f(X) forment une partition de X.
Dans le cas d'un morphisme il se trouve que chaque image réciproque est en bijection avec Ker(f).
re,
y a t-il une différence entre homomorphisme de groupes et morphisme de groupes (wiki affirme que c'est pareil ...) ?
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Mon énoncé est plus général que le cas des homomorphismes, mais il est évident! Si f:X\to Y est une fonction entre ensembles, on a évidemment
X=\bigcup_{y\in Y}f^{-1}(\{y\})
et les images réciproques des éléments de f(X) forment une partition de X.
ok
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Dans le cas d'un morphisme il se trouve que chaque image réciproque est en bijection avec Ker(f).
donc X serait en bijection avec Kerf...
"""""" par l'application qui multiplie l'image d'un élément par l'inverse de cette image """""" ? (avec deux groupes multiplicatifs)
bon oué, en fait, j'ai du mal à voir ...
merci
Soit y dans f(X) et soit x tel que f(x)=y. Alors si et seulement si
. Donc l'apllication qui à t fait correspondre tx est une bijection entre
et
. Ceci montre que X est découpé en partie disjointes de même cardinal (celui de ker(f)). Le nombre de ces parties est égal au cardinal de f(X) (si tout le monde est fini).
Je complete en disant que morphisme (dans le sens de flèche) c'est plus général que homomorphisme et dans le cas des groupes c'est pareil.
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