bonjour
pour la première, une fois éliminé le cas trivial y=0 (qui donne x=0) divise tout par y^6

puis pose X=(x/y)^2

cela donne ?

pardon... j'avais lu "=0"... ma solution ne fonctionne pas !

Oui moi aussi ça m'arrangerait bien que ce soit "=0"

si tu multiplies déjà la deuxième par 2 et que tu additionnes à la première... cela doit te donne quelque chose de sympa il me semble

non plus... tu es sûr(e) des signes dans ta première équation ?

Oui, je suis sûre des signes, hélas...

bon je continue à chercher...

ma remarque précédente venait du fait qu'on retrouvait... au signe près, les coefficients du développement de la puissance 6 : 1-6-15-20-15-6-1

Oui c'est en voyant ces coefficients que j'ai pensé utiliser le binôme à la puissance 6 mais j'en viens à douter...

bon, je crois avoir trouver...

on va travailler dans ... sachant qu'on cherche x et y réels

regarde bien ta première équation...

si tu changes tous les "y" en des "iy", il n'y a plus que des signes "+"... d'accord ? écris là

(1)

tu es d'accord ?

Ben je suis moyennement d'accord, remplacer y par iy ça ne revient pas à dire qu'on cherche une solution complexe ? (complexe pure en plus)... enfin je veux bien tenter et voir comment on retombe sur nos pattes réelles

maintenant tu multiplies la deuxième par 2i... et tu fais la même manipulation en l'écrivant avec des puissances de (iy)

maintenant tes deux équations (1') et (2') ont des premiers membres respectivement réels et imaginaires purs...

je ne remplace pas y par (iy)... j'utilise simplement dans C quue i^2 = -1, que i^4=1 et que i^6=-1

et si une équation est vraie dans R, elle l'est a fortiori dans C...

D'accord, je comprends le principe, je te remercie !!

bon, reprenons...

formalisons ton système en A=1 et B=0) avec A et B réels

A et B représentent les membres de gauche de tes deux équations de départ.

et il équivaut à dire que A+iB = 1+0i = 1 (ça c'est du cours de terminale)

et quand tu calcules A+iB ... tu t'aperçois que c'est le développement de (x+iy)⁶

fais le, tu verras

alain

tu es d'accord ?

au bout du compte, ton système équivaut à trouver deux réels x et y tels que (x+iy)⁶=1

Il te suffit maintenant de résoudre dans C l'équation Z⁶=1, c'est à dire à chercher les racines sixièmes de l'unité, puis à les mettre sous forme algébriques pour trouver les couples (x,y) qui conviennent.

Alain

Ok c'est bon, j'ai mis un peu de temps mais j'y arrive :p
Merci !
Je trouve pour A :

et pour 2iB :


Je vois bien le développement de (x+iy)⁶, et je vois bien aussi A + iB = 1...
Donc pour résoudre je calcule les racines sixièmes de 1 et je donne les parties réelles et imaginaires, c'est ça ?

(à vue de pif, ça fait (1,0), (1/2,3/2), (-1/2,3/2), (-1,0), (-1/2,-3/2) et (1/2,-3/2) )

Ah super, j'ai bien compris. Vraiment, merci beaucoup !!! C'est une super astuce de résoudre dans C même si on nous demande des solutions réelles... je n'aurais jamais trouvé seule, merci merci !!

tu as tout compris...

l'astuce n'était pas évidente... mais c'est en suant un peu qu'on apprécie une fois que quelqu'un te la montre !!!

note qu'elle ne m'est pas venue immédiatement  (j'ai un peu perdu la main sur ce genre de truc)

content de t'avoir aidé(e) et ça me fait plaisir que tu aies bien compris le raisonnement suivi.

amicalement

Alain

d'ailleurs tu as rectifié une erreur de ma part, on fait A+2iB=1 et non A+iB...