Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Résolution équation

Posté par
scoob27 18-09-09 à 17:27

Bonjour,

En vue de préparer un DS, j'ai tenté de faire un exercice et je bloque sur une résolution d'équation.

Pour z \{-1}  on pose f(z)=(1+z)/|1+z|

On sait par ailleurs grâce à une question précédente que z \{-1}  f(z)est un complexe de module 1

On me demande maintenant de résoudre dans cet ensemble l'équation d'inconnue z: f(z)=-1

J'ai essayer de ramener l'équation sous forme d'un polynôme, mais je trouve des résultats en fonction du conjugué de z.
Je ne pense pas avoir la bonne méthode, donc est ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait?

Posté par
Narhmre : Résolution équation 18-09-09 à 18:01

Bonjour,

Déjà par le biais d'une translation, le problème se ramène à résoudre l'équation  4$ \fr{z}{|z|}=-1  sur  4$ \mathbb{C}-\{0\}

En regardant bien cette équation, qu'en déduis-tu sur z ? L'équation lui impose une forme particuliere non ?

Posté par
scoob27re : Résolution équation 18-09-09 à 18:11

Cela supposerait que z soit un réel tel que |z|=-z puisque |z| est forcément un réel.
De plus comme |z|+ alors z*- ?

Posté par
Narhmre : Résolution équation 18-09-09 à 18:14

Oui, et plus particulièrement quels sont les réels 3$ z<0 qui vérifient 3$ z=-|z| ?

Posté par
scoob27re : Résolution équation 18-09-09 à 18:20

Je ne vois pas.Tout les réels <0 ne vérifient ils pas cette relation?

Posté par
Narhmre : Résolution équation 18-09-09 à 18:28

Si si bien sur mais la manière dont tu avais formulé ta conclusion me faisait douter
Finalement, tu en conclus quoi sur les solutions de 3$ \fr{z}{|z|}=-1 ?

Posté par
scoob27re : Résolution équation 18-09-09 à 18:31

J'en conclut que l'ennsemble des solutions de l'équation est S={-*}

Posté par
Narhmre : Résolution équation 18-09-09 à 18:41

Juste une chose :

Citation :
Cela supposerait que z soit un réel tel que |z|=-z puisque |z| est forcément un réel.
De plus comme |z|+ alors z*- ?

En disant cela, tu raisonnes pas implication et tu as seulement montré que si z est solution alors z<0. Il reste tout de même à montrer l'autre implication pour avoir l'équivalence.

Citation :

J'en conclut que l'ennsemble des solutions de l'équation est S={-*}

Les accolades ne sont pas nécessaires, mais le résultat est bon.

Finalement quelle est la réponse au problème initial ?

Posté par
esta-fettere : Résolution équation 18-09-09 à 18:43

Bonjour à tous.....

Une façon différente de aire cet exercice....

on va commencer par chercher des valeurs possibles...

4$ \frac{1+z}{| 1+z |} = -1 \Longrightarrow \frac{\left(1+z \right) ^2}{| 1+z | ^2} = 1

4$ \Longrightarrow \frac{\left(1+z \right) ^2}{(1+z) \bar{(1+z)}} = 1

4$ \Longrightarrow \frac{\left(1+z \right) }{ {(1+\bar z)}} = 1

donc 4$ 1 + z = 1 + \bar z

donc z est réel.

donc on résout dans R l'équation
1 + x = -|1+x|

ce qui signifie que 1+x est négatif ou nul......

les seules solutions possibles sont les réels x tels que 1+x est négatif ou nul....

un tableau de signe ou une inéquation nous donne x <= -1

ensuite on vérifie que si x est un réel inférieur ou égal à -1 alors 1 + x = -|1+x|

Posté par
scoob27re : Résolution équation 18-09-09 à 18:43

Et bien si on reprend l'équation de base l'ensemble des solutions devrait être S=\{-1}

Posté par
Narhmre : Résolution équation 18-09-09 à 18:48

>esta-fette :
Bonjour

>scoob27 :
Non ! Ca n'est pas ca. Par exemple : f(1/2)=1 !

On a 3$ \fr{z+1}{|z+1|}=-1 \Longleftrightarrow \fr{Z}{|Z|}=-1 avec Z=1+z.
D'apres ce qu'on a montré precedement, on sait que c'est équivalent à Z<0.
Je te laisse finir...

Posté par
scoob27re : Résolution équation 18-09-09 à 18:50

Oups désolé, erreur inattention. Je voulais dire l'ensemble des réels négatifs privé de -1

Au fait comment tu fais pour écrire tout tes symboles mathématiques?

Posté par
Narhmre : Résolution équation 18-09-09 à 18:53

C'est toujours pas ca et c'est pour ca que j'ai pris l'exemple f(1/2)=1 !
3$ \fr{z+1}{|z+1|}=-1 \Longleftrightarrow \fr{Z}{|Z|}=-1 \Longleftrightarrow Z<0 \Longleftrigharrow z+1<0 \cdots

"Au fait comment tu fais pour écrire tout tes symboles mathématiques?"
En utilisant les balises LaTeX : LTX en bas du cadre de saisie.

Posté par
Narhmre : Résolution équation 18-09-09 à 18:53

3$ \fr{z+1}{|z+1|}=-1 \Longleftrightarrow \fr{Z}{|Z|}=-1 \Longleftrightarrow Z<0 \Longleftrightarrow z+1<0 \cdots

Posté par
scoob27re : Résolution équation 18-09-09 à 18:57

l'ensemble des z<-1?

Posté par
Narhmre : Résolution équation 18-09-09 à 18:59

Oui !
3$ S=]-\infty;-1[

Posté par
scoob27re : Résolution équation 18-09-09 à 19:04

Ok merci beaucoup!!!

Posté par
Narhmre : Résolution équation 18-09-09 à 19:06

De rien en ce qui me concerne.
( tu peux jeter un oeil sur la démo de Esta-fette ).


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1676 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !