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Résoudre une équation du 3ème degré avec complexe
Bonjour !
Voici l'équation que je dois résoudre :
z3-(1+2i)z²+3(1+i)z-10(1+i)=0 (Commencer par observer l'existence d'une solution imaginaire pure)
J'ai éssayé de factoriser (z+1)(
z²+
z+
), et de retrouver donc , et par représentation mais je trouve 2 gamma ou 2 beta différents.
Avec l'indication donnée pour la solution imaginaire pure, j'ai éssayé de résoudre l'équation avec i et -i, sans succès.
Est-ce que mettre les déterminants de z3, z² et z sous forme exponentielle m'aiderait ?
Merci d'avance !
l'indication doit te pousser à rechercher une solution de la forme z=a*i, d'annuler ses parties imaginaire et réelle
et effectivement, tu trouves assez facilement que a=-2 fonctionne
donc après tu factorises (z+2i)
J'ai remplacer les z de l'équation par a*i, j'ai trouvé en développant a²-3a-10+i(-a3+2a²+3a-10)=0
J'annule la partie réelle, ce qui me donne i(-a3+2a²+3a-10)=0, et donc -a3+2a²+3a-10=0, et je ne vois pas que faire après.
Avez vous écrit que -2 est une racine "évidente" et donc qu'il n'y a besoin d'aucun calcul pour la trouver, juste de la vérifier ?
Désolée, je crois que je viens de voir mon erreur : J'ai pris en compte que la partie imaginaire, je devrais annuler la partie réelle a²-3a-10, et je me retrouve donc avec un polynôme du second degré qui a pour racine 5 et -2.
En prenant donc a=5 pour annuler la partie imagine a3+2a²+3a-10, je trouve -70, mais en prenant a=-2 je trouve a3+2a²+3a-10=0.
Je vais procéder à la factorisation et vous dirait ma réponse, merci pour vôtre aide !
Par association, j'ai trouvé (z+2i)[z²-(1+4i)z+5(i-1)]=0
Avec z+2i=0, on a z=-2i;
Avec z²-(1+4i)z+5(i-1)=0, je trouve 
=5-12i, et ses racines; 
1=3-2i et 2= -3+2i.
Grâce à cela je trouve z1=2-i et z2=-1+3i
Merci encore !
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