Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Résoudre une équation en changeant de variable
Bonjour,
Voici l'énoncé de mon exercice :
1-Soit (E) l'équation z5-1=0. La résoudre dans C.
2-Déterminer le polynôme Q tel que z5-1=(z-1)Q(z).
Résoudre l'équation Q(z)=0 en utilisant le changement de variable Z=z+1/z.
En déduire une expression de cos(2pi/5) ne faisant intervenir que des racines carrées.
3-En déduire une expression de cos(pi/5) ne faisant intervenir que des racines carrées.
J'ai réussi la question 1- (5 solutions : 1, e2ipi/5, e4ipi/5, e6ipi/5, e8ipi/5 ) et j'ai trouver Q(z)=z4+z3+z2+z+1 , mais je ne réussis pas à résoudre Q(z)=0.
Merci d'avance pour votre aide.
En effet, donc d'après la formule Q(z)=(1-z5)/(1-z). (ce que l'on avait déjà qrâce à sa définition)
Et je ne comprends pas comment utiliser le changement de variables, car je voudrais factoriser par (z+1/z) mais je n'y parviens pas !
Avec la formule des suites, remplaces z par son expression en fonction de Z et du devrais y arriver!
Pourquoi n'appliques tu pas ma méthode ? En remplaçant z par son expression en fonction de Z , tu arrives à quelque de très simple avec l'égalité donnée par la suite.
Ensuite il suffit de re-remplacer Z par z et tu finis en deux secondes car c'est identique à quelque chose de déjà fait.
Oui mais comment exprimer z en fonction de Z car Z=z+1/z donc z(z2+1)/Z, mais on toujours z en fonction de Z et de z ...
Et bah, c'est bien ce que je pensais!
Sa te donne:
Z=z+1/z (*z)
<=>Zz=z+1
<=>Zz-z=1
<=>z(Z-1)=1
<=>z=1/(Z-1)
A partir de z4+z3+z2z+1= (1-z5)/(1-z); tu résous cette équation =0 en remplaçant z par Z puis quand tu arrives à quelque chose de simple, tu le refais dans l'autre sens, c'est pas bien long!
Bonsoir,
En effet, je l'ai lu et j'ai résolu Z2+Z-1=0 puis Z1=z+1/z et Z2=z+1/z et je trouve 4 solutions : (-1+)/4 +ou- i*racine de (((racine de 5) +5)/8) et (-1-
)/4 +ou- i*racine de ((-(racine de 5) -5)/8).
Désolée pour la frappe les racines superposées semblent ne pas fonctionner ...
Merci pour votre aide.
Phantastik, je sais que si tu a créé ce topic c'est pour que l'on puisse t'aider mais là c'est moi que te demande: Comment t'as trouvé le réponse à lère première question ???
Bonjour,
La question 1) est très simple : si z5 -1=0 , alors z5=1 donc les solutions sont les racines 5ème de l'unité...
OK
Moi je cherchais les 5 racines
"la question 1- (5 solutions : 1, e2ipi/5, e4ipi/5, e6ipi/5, e8ipi/5 )"
Merci
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac